Entropie verfolgen

Question

Ich studiere Beziehungen zwischen Spurenentropiefunktionalen und Kombinatorik und stehe vor folgendem Problem. Lasst uns$\mathcal {D}$sei der folgende Differentialoperator$1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$dh$\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$.

Für$m\ge 0$Ganzzahl, wenn$\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$dann$\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$und (zumindest formal) für eine Funktion$g$wir können schreiben$g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$wo$$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$

Ich versuche herauszufinden, welche Art von Funktionen$g(x)$kann die folgenden Bedingungen erfüllen$(0;1]$

ICH)$g(x) \ge 0$,$g(0)=0$. (Positivität)

II)$\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$. (eine Art von$\mathcal {D}$-Konkavität)

III)$\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$(Dies ist die mit dem Operator ausgedrückte Standardkonkavität$\mathcal {D}$

IV)$\exists \ 0< \varepsilon \le 1$so dass$g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$

V)$\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$so dass$$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$

Wenn wir nur die Bedingungen I), II) und III) auferlegen, gibt es viele Funktionen, die sie erfüllen, aber

1. Hinzufügen IV) Ich kann keine Funktion außer der folgenden Form finden$g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$echte Konstante (hier$\varepsilon=1$). Beachten Sie, dass$g$erfüllen nicht V).

2. Hinzufügen von IV) und V) Ich kann keine andere Funktion außer der Boltzman-Gibbs-Shannon-Entropiespur finden:$-x\cdot \log(x)$

Ich "befürchte", dass die Boltzman-Gibbs-Shannon-Entropiespur die einzige Funktion ist, die I)-V) erfüllt.

Vielen Dank im Voraus für jeden Standpunkt.

Answer 1

Für alle$c\in(0,\log2]$, die Funktion$g$durch die Formel definiert$g(x)=cx$zum$x\in[0,1]$erfüllt Ihre Bedingungen I)–V), aber es ist nicht die Boltzman-Gibbs-Shannon-Entropiespur.

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Es gibt noch viele weitere Funktionen$g$Erfüllen Sie Ihre Bedingungen I)–V), die nicht die Boltzman-Gibbs-Shannon-Entropiespur sind. Insbesondere für alle$c_1\in(0,\log2)$, jede nichtnegative stetige Funktion$H$An$[0,1]$, und alle klein genug real$c_2\ge0$und$c_3\ge0$, die Funktion$g$durch die Formel definiert$$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$zum$x\in[0,1]$erfüllt Ihre Bedingungen I)–V), aber es ist nicht die Boltzmann-Gibbs-Shannon-Entropiespur.