Fehlerkorrekturmodell verstehen

Question

Ich habe mehrere intuitive Probleme mit dem Fehlerkorrekturmodell. Ich werde unten schreiben, wie ich die Ableitung des ECM-Modells mit meinen Abfragen verstehe.

Lassen $I(y_t)=I(X_t)=1$ und betrachten Modell: $$y_t=\alpha_0+\alpha_1y_{t-1}+\beta_0x_t+\beta_1x_{t-1}+u_t$$ Jetzt ersetzen $y_{t-1}$.

$$\Delta y_t= \alpha_0+p_1y_{t-1}+\beta_0x_t+\beta_1x_{t-1}+u_t$$

Danach fügen wir in der richtigen Sicht der Gleichung hinzu $\beta_0x_{t-1}-\beta_0x_{t-1}$ bekommen

$$\Delta y_t= \alpha_0+p_1y_{t-1}+\beta_0\Delta x_t+\theta_1x_{t-1}+u_t$$Jetzt müssen wir eine Weile nachdenken. weil$I(y_t)=1$ Wir haben Stationarität der Variablen $\Delta y_t$. Die gleiche Begründung können wir für Variablen anwenden$\Delta x_t$. In Bezug auf diese Denkweise haben wir die folgende Äquivalenz:$$y_t \; \text{and} \; x_t \; \text{cointegrated} \Leftrightarrow u_t \text{stationary}$$

Zum Testen der Stationarität von $u_t$Wir können bestimmte Tests verwenden. Der beliebteste ist der ADF-Test. Nachdem wir die Kointegration beansprucht haben, folgen wir dem Algorithmus:

(1) Schätzen Sie unser lineares Regressionsmodell $y_t=c+\beta x_t+u_t$

(2) Auszug $u_{t-1}=(y_{t-1}-c-\beta x_{t-1})$ aus dem Modell (1)

(3) Erstellen Sie ein neues Modell mit der entsprechenden Form von $u_t$ abgeleitet in Schritt (2) $\Delta y_t=\beta_0+\beta_1 \Delta x_t + \beta_2 u_{t-1}+\epsilon_t=\beta_0+\beta_1 \Delta x_t +\beta_2(y_{t-1}-c-\beta x_{t-1})$

Und das in Punkt (3) abgeleitete Modell ist das endgültige Fehlerkorrekturmodell, das wir verwenden sollten. Ich habe mehrere Fragen dazu

(1) Was ist genau variabel $y_{t-1}$? Angenommen, y ist ein Vektor, der aus Zahlen von 1 bis 100 besteht. Was genau ist$y_{t-1}$? Es können dann nicht nur Zahlen von 1 bis 99 sein$y_t$ und $y_{t-1}$ unterschiedliche Längen haben und Modell kann nicht erstellt werden (das allererste)

(2) Warum wir das ecm-Modell ableiten, nachdem wir die Stationarität von behauptet haben $u_t$? Wenn$x_t$ und $y_t$ ist integriert, warum wir nicht nur Standardmodelle verwenden $y_t=\alpha_0+\alpha_1 x_t +\epsilon_t$? Ich verstehe, dass ECM besser ist als einfach$\Delta y_t= \alpha_0 + \alpha_1 \Delta x_t + \epsilon_t$ aber ich konnte keine Erklärung finden, warum es besser als das Standardmodell ist.

(3) Was genau ist die Interpretation von $\beta_2$ im ECM (Wert neben $u_{t-1})$? Was bedeutet es wann$\beta_2$ ist groß oder klein?

(4) Kann ECM nur auf univariate Regression angewendet werden?

Answer 1

Ich werde sehr kurz antworten. Die meisten Ihrer Fragen werden in den Texten von Lutkephol oder Banerjee & Dolado beantwortet.

1. Der Grund für den Aufbau eines ecm ist, dass der ursprüngliche Fehlerbegriff, $\epsilon_t$ist in der ursprünglichen Regression nicht stationär. In Ihren Ableitungen haben Sie den Fehlerbegriff von nie geändert$\epsilon_t$ zu $u_t$und schrieb jedes Mal das gleiche. Erst wenn Sie die Gleichung I (0) auf beiden Seiten machen, wird der TRANSFORMED-Fehlerterm stationär. Auch muss man auf Nichtstationarität von testen$\epsilon_t$ mit dem ADF oder einem anderen Test.

2. Ja, man verliert einen Datenpunkt im ECM, weil $y_t$ ist eine Seite und $y_{t-1}$ist auf der anderen Seite. Daran kann nicht viel getan werden. Wenn Sie also 100 Datenpunkte haben, besteht das ECM aus 99 Gleichungen.

3. $\beta_2$misst das Ausmaß der Pegelumkehr bei jedem Schritt. Also, wie viel macht der Unterschied zwischen$y_{t-1}$ und (c + $x_{t-1}$) Ursache $y_t$ in die andere Richtung zurücklehnen.

4. Das VECM ist das multivariate Analogon des ECM. Ich würde Lutkepohl dafür überprüfen.

Dies ist offensichtlich eine kurze Antwort. Die blutigen Details sind in den genannten Texten enthalten. Ich hoffe, es hat einigen geholfen, aber ich empfehle, diese Texte oder zumindest Teile davon zu lesen.