Følner-Sequenzen mit seltsamen Formen
Lassen $G$eine diskrete und endlich erzeugte Gruppe sein. Erinnere dich daran$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ist eine Følner-Sequenz, wenn$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ für jeden $g \in G$. Bekanntlich entspricht die Existenz einer Følner-Sequenz der Zugänglichkeit von$G$.
Es wird oft gesagt, dass Følner-Sequenzen seltsame Formen haben. Meine weiche Frage lautet: Welche Beispiele stützen diese Behauptung? Natürlich, wenn$G$ist von subexponentiellem Wachstum, dann bildet eine Subsequenz von Kugeln eine Følner-Sequenz, und diese hat keine seltsame Form. Genauer gesagt: Welche Beispiele für Gruppen exponentiellen Wachstums kennen wir, die explizite Følner-Sequenzen haben, die nicht aus Kugeln bestehen?
Als Beispiele für die Beispiele, nach denen ich frage, fragt die sternförmige Folner-Sequenz nach Følner-Mengen einer bestimmten Form, während eine Antwort auf Folner-Mengen und Kugeln explizite Folgen aus Rechtecken (im Gegensatz zu Kugeln) ergibt . Ebenso hat die ax + b- Gruppe eine Følner-Sequenz aus Rechtecken, wobei eine Seite exponentiell größer als die andere ist.
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Die Algebra ist hier nützlicher als Bilder, aber die Bilder machen Spaß, also geht es weiter. Um meinen Kommentar zu Lampenscheinwerfern zu untermauern, schnelle Wiedergabe eines typischen Balls und eines Følner-Satzes von Lampenscheinwerfern. Eigentlich weiß ich nicht, welches davon schöner ist, aber das Følner-Set sieht tatsächlich eher wie ein Ball aus.
Die beiden Bilder werden aus unterschiedlichen Winkeln aufgenommen und bilden so ein Stereogramm. Wenn Sie also das Bild ganz links mit Ihrem rechten Auge betrachten und umgekehrt, sollte Ihre Stereopsis aktiviert werden. Ich finde dies hilfreich, wenn Sie dies nicht tun, können Sie eines davon ignorieren die Bilder.
Erstens die Kugel oder der Radius $3$mit den Generatoren, bei denen sich der Kopf bewegt. Wenn sich der Kopf nach rechts bewegt, gehen Sie das Diagramm hoch. Ich verwende einige Konventionen, die hoffentlich erraten werden können.
Hier ist ein typisches Følner-Set mit denselben Generatoren.
Diese Frage war in den 50er und 60er Jahren populär, nachdem der Folner-Satz bewiesen wurde. Viele Beispiele für seltsame Folner-Sets wurden konstruiert. Die typischen Beispiele für Gruppen, in denen Folner-Sets keine Kugeln sind, sind Lampenlichtgruppen und die Kranzprodukte unendlicher zyklischer Gruppen. Für neuere Arbeiten siehe Anna Erschler. Auf isoperimetrischen Profilen endlich erzeugter Gruppen. Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 und die darin enthaltenen Referenzen.
Eine Antwort auf Ihre nicht weiche Frage ist, dass die folgenden Gruppen alle [mindestens einen] Stromaggregat haben, bei dem bekannt ist, dass Bälle nicht Folner sind, aber eine andere ("rechteckige") Sequenz lautet: lösbar Baumslag-Solitar, einige Kranzprodukte (einschließlich des Lampenscheinwerfers), einige Erweiterungen von$\mathbb{Z}^d$ durch $\mathbb{Z}$ (diejenigen, die durch eine Matrix ohne Eigenwerte der Norm 1 gegeben sind), einige $ax+b$ Gruppen und im Grunde fast alle zugänglichen Gruppen exponentiellen Wachstums, deren Wachstumsreihe rational ist und berechnet wurde (Einzelheiten siehe unten).
"Fremdheit" von Folner-Mengen: Wie in der Frage erwähnt, bilden [eine Teilfolge der Folge von] Bällen eine natürliche Folner-Folge in jeder Gruppe von subexponentiellem Wachstum. Nun, wie von anderen betont, sind Bälle (für einen endlichen Stromerzeuger) ziemlich "hässlich". Dies kann präzisiert werden, wenn man das Konzept eines optimalen Folner-Sets betrachtet:
Lassen $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (das $\inf$ läuft über alle Sätze $A$ von Größe $\leq n$) sei das isoperimetrische Profil. Dann ein Set$F$ ist optimal wenn $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. In Worten: wenn ein Satz$E$ ist nicht größer [in Bezug auf die Kardinalität] als $F$dann ist es das isoperimetrische Verhältnis $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$schlägt das isoperimetrische Verhältnis von nicht $F$.
Man kann (unter Verwendung der Loomis-Whitney-Ungleichung) überprüfen, ob der optimale Folner einsetzt $\mathbb{Z}^d$(für den üblichen Stromerzeuger) sind [Hyper] -Würfel (oder sie neigen dazu, eine rechteckige Form zu haben). Dies ist eine eindeutige Art zu sagen, dass Bälle "ungeschickte" Folner-Sets sind. Im Vergleich dazu sind optimale Mengen überhaupt nicht "seltsam" (da sie äußerst gut ausgewählt sein müssen).
Weitere Informationen zur Fremdheit finden Sie in den Randnotizen unten.
Explizite Beispiele: Als nächstes ist bei einer Gruppe exponentiellen Wachstums eine offene Frage, ob eine Teilfolge der Folge von Bällen Folner ist. Ich gab eine teilweise Antwort, die zeigt, dass dies nicht der Fall ist, wenn die Gruppe [zusammen mit der Wahl des Stromaggregats] das exponentielle Wachstum eingeklemmt hat. Dazu gehören viele Kranzprodukte, lösbare Baumslag-Solitar-Gruppen und einige Erweiterungen von$\mathbb{Z}^d$ durch $\mathbb{Z}$ (Details siehe Link).
Diese Gruppen können alle als semi-direkte Produkte geschrieben werden. Wenn$G$ und $H$ sind zugänglich, dann kann man das zeigen $G \rtimes H$ ist zugänglich und die Folner-Sets haben die Form $E_n \times F_n$ (wo $E_n$ [bzw. $F_n$] ist eine Folner-Sequenz von $G$ [bzw. $H$]). In diesem Sinne sind die Folner-Mengen, auf die wir stoßen (träge, in dem Sinne, dass sie durch einen allgemeinen Beweis erzeugt werden), in solchen Gruppen "rechteckig".
Daher die oben genannten Gruppen [lösbare Baumslag-Solitar, einige metabelsche Gruppen, Gruppen, deren Wachstumsreihe rational ist und die im Konvergenzradius keine zwei Pole haben (einschließlich vieler Kranzprodukte und $ax+b$-groups)] sind eine direkte Antwort auf Ihre zweite Frage (für einige Stromaggregate). Man weiß, dass Bälle (für Generatorsätze) keine Folner sind, sondern ein "rechteckiger" Satz (um genau zu sein: Es könnte Gruppen mit einem einzigen Pol geben, die keine semi-direkten Produkte oder Erweiterungen zugänglicher Gruppen sind; für diese Gruppen [ falls bekannt] gibt es keine "rechteckigen" Mengen).
Für nicht geteilte Erweiterungen wurde dort von Ycor eine Beschreibung der Folner-Sets gegeben . Beachten Sie, dass man die Bedeutung von "rechteckig" für nicht geteilte Erweiterungen anpassen kann: indem man ein Vorbild des Folner-Satzes des Quotienten mal eines Folner-Satzes der Untergruppe nimmt.
Nun könnte man denken, dass "rechteckige" (und nicht mehr Bälle) Sets Favoriten sind. Aber dann gibt es auch einfache Gruppen von Zwischenwachstum, siehe diese Frage . Und (wenn nicht für solche Gruppen, dann für andere einfache Gruppen mit subexponentiellem Wachstum) Ich denke, dass Bälle die einzigen Kandidaten sind, die man hat.
Grundsätzlich denke ich, dass das Problem mehr damit zu tun hat, wie wir zugängliche Gruppen bilden. Wir verwenden immer die vier Eigenschaften der Zugänglichkeit (Erweiterung, Untergruppe, Quotient und direkte Grenze). Man beginnt also mit Wachstum als Grundkriterium und verwendet diese vier Eigenschaften (es gibt möglicherweise viele Möglichkeiten, dies zu tun). Dadurch erhalten Sie die bekannten Folner-Sets für eine bestimmte Gruppe. Als dummes Beispiel könnte man sagen, dass natürlicher Folner einsetzt$\mathbb{Z}^3$ sind Zylinder (Kugeln in $\mathbb{Z}^2$ mal Bälle rein $\mathbb{Z}$).
Randnotiz 1: Es ist eine seit langem offene Frage, zu beweisen, was solche Mengen in der (kontinuierlichen) Heisenberg-Gruppe sind (obwohl die vermutete Form gut beschrieben ist). Das war meine Motivation für diese Frage.
Randnotiz 2: Wie von Ycor hervorgehoben, mit einer Folner-Sequenz$F_n$ Sie können es "so seltsam machen, wie Sie wollen", indem Sie eine beliebige Folge von endlichen Mengen betrachten $E_n$ mit $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Ein Vorteil der Berücksichtigung optimaler Folner-Sequenzen besteht darin, solche Einstellungen zu vermeiden (der offensichtliche Nachteil besteht darin, dass es fast keine Gruppen gibt, in denen optimale Sätze bekannt sind). Ein weiterer Hinweis ist das Hinzufügen eines solchen Satzes$E_n$hat keinen Einfluss auf das invariante Maß, das man erhält (für einen festen Ultrafilter). Beachten Sie, dass sich die Übersetzung der Sätze auf das Grenzwertmaß auswirken kann.
Randnotiz 3: Hier ist ein weiterer Aspekt der "Fremdheit" von Folner-Sets. Betrachten Sie die Reihenfolge$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, ebenso gut wie $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ von setzt in $\mathbb{Z}$. Dann betrachten Sie die Funktion$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. Das invariante Mittel, von dem man kommt$P_n$ auf $f$ ist 1 (unabhängig vom gewählten Ultrafilter), mit dem Sie arbeiten $M_n$ ist $-1$ (wieder was auch immer der Ultrafilter) und schließlich der, mit dem Sie bekommen $A_n$hängt vom gewählten Ultafilter ab. Und Sie könnten für jede reelle Zahl in konstruieren$[-1,1]$ eine Sequenz $R_n$die zu dieser Zahl konvergiert (unabhängig vom Ultrafilter). Es ist nicht allzu schwer, eine Sequenz zu konstruieren, die je nach Ultrafilter zu einer beliebigen rationalen Zahl in konvergieren kann$[-1,1]$.