Frage zu Pells Gleichung.

Question

Frage. Nehme an, dass$x,y,x',y'$ sind positive ganze Zahlen befriedigend $x^2-dy^2=\pm 1$ und $(x')^2-d(y')^2=\pm 1$beziehungsweise. Vorausgesetzt$x<x'$, Beweise das $y<y'$.

Ich bin mir nicht sicher, wo ich anfangen soll. Erstens habe ich durch die positive Lösung faktorisiert$(x+\sqrt{d}y)(x-\sqrt{d}y)=1$ so können wir haben $y=0$ und $x=1$. Aber dann weiß ich nicht wirklich, wie das hilft.

Alle Hinweise oder Wege der Fortsetzung wäre sehr dankbar.

Answer 1

Du hast

$$x^2-dy^2=\pm 1 \tag{1}\label{eq1A}$$

$$(x')^2-d(y')^2=\pm 1 \tag{2}\label{eq2A}$$

Wenn $d \lt 0$gibt es keine Lösungen nur in positiven ganzen Zahlen und wenn $d = 0$, dann müssen beide rechten Seiten sein $1$ mit $x = x' = 1$, was auch nicht erlaubt ist. So,$d \gt 0$.

Als nächstes nicht unbedingt die rechte Seite annehmen $\pm 1$ Werte sind die gleichen in der $2$ Gleichungen ergibt \ eqref {eq2A} minus \ eqref {eq1A}

$$((x')^2 - x^2) - d((y')^2 - y^2) = z \tag{3}\label{eq3A}$$

wo $z \in \{-2, 0, 2\}$, damit $z \le 2$. Schon seit$x \ge 1$, und $x' \gt x \implies x' \ge x + 1$, du kriegst $(x')^2 - x^2 \ge (x + 1)^2 - x^2 = 2x + 1 \ge 3$. So,$- d((y')^2 - y^2) \le -1 \implies d((y')^2 - y^2) \ge 1$ und seit $d \gt 0$, Sie haben auch $(y')^2 - y^2 \gt 0 \implies y' \gt y$.

Answer 2

Hm ... ist das nicht trivial zu beweisen?

Erstens ist das leicht zu erkennen $d$ ist positiv.

Zweitens können Sie direkt ausdrücken $y$ und $y'$als eine Funktion
(es ist die gleiche Funktion) von$x$ und $x'$ beziehungsweise.

$$y = \sqrt{\frac{x^2-1}{d}}$$
$$y' = \sqrt{\frac{x'^2-1}{d}}$$

Und dann seit dieser Funktion

$$f(t) = \sqrt{\frac{t^2-1}{d}}$$

nimmt zu und $x \lt x'$, deine Meinung $y \lt y'$ ist offensichtlich wahr.