Genauigkeit der Volatilitätsprognose
Ich verstehe das Grundkonzept von ARCH / GARCH-Modellen und die grundlegende Mathematik dahinter. Das heißt, man modelliert die "Volatilität" einer Zeitreihe, dh die Residuen einer Zeitreihe, die das Modell beschreibt, was wiederum die Vorhersage der Volatilität ermöglicht.
Wie wird jedoch die Volatilitätsprognose bewertet? In einer bedingten Mittelwerteinstellung vergleicht man nur den tatsächlichen Wert mit dem prognostizierten Wert. Was wird in einer bedingten Volatilitätseinstellung verglichen? Die Differenz zwischen den oben genannten Werten und dem prognostizierten Rest?
In diesem Fall kann ich mir theoretisch ein Szenario vorstellen, in dem das Residuum immer korrekt prognostiziert wird, was wiederum impliziert, dass die Punktprognose immer falsch ist (wenn das Residuum größer Null ist). Dies kann nicht die richtige Bewertungsmethode sein, da sie stark davon abhängt, wie voreingenommen die Punktprognose ist. Aber wie bewerten wir ARCH / GARCH-Prognosen richtig?
Antworten
Der Punkt der Volatilitätsprognose besteht darin, die volle Vorhersagedichte vorherzusagen. Zum Beispiel könnten Sie eine normale zukünftige Dichte mit dem Mittelwert Null annehmen und den einen freien Parameter vorhersagen, der zufällig die Varianz ist. Oder verwenden Sie einen nichtparametrischen Ansatz.
Die Methode der Wahl zur Bewertung der Vorhersagedichten ist eine geeignete Bewertungsregel . Wir haben ein Tag mit Bewertungsregeln . Das Tag-Wiki enthält einige Hinweise auf die Literatur.
Als Beispiel habe ich zufällig den ersten relevanten Artikel in der aktuellen Ausgabe des International Journal of Forecasting ausgewählt , der zufällig "Prognose der Volatilität mit zeitlich variierender Hebelwirkung und Volatilität von Volatilitätseffekten" von Catania & Proietti (2020, IJF ) war. . Sie verwenden den CRPS (Continuous Ranked Probability Score), eine sehr häufig verwendete Regel für die richtige Bewertung.
Wenn ich über die Bewertung von Volatilitätsprognosen im Allgemeinen (nicht über GARCH im Besonderen) spreche, werde ich eine Alternative zu Stephan Kolassas Antwort erwähnen.
Man kann auch die richtigen Bewertungsregeln für Statistiken oder "Eigenschaften" von Verteilungen studieren. Dieser Bereich wird manchmal als Auslösung bezeichnet. Dort kann man folgende Frage stellen: Gibt es eine "richtige" Bewertungsregel?$S(v, y)$ das wertet eine Prognose aus $v$der Varianz einer Zufallsvariablen unter Verwendung einer Stichprobe$y$? Hier sollte der Begriff des Eigenen sein, dass die erwartete Punktzahl maximiert wird, wenn$v$ ist die wahre Varianz.
Es stellt sich heraus, dass die Antwort nein ist. Es gibt jedoch einen Trick. Es gibt sicherlich eine solche Bewertungsregel für den Mittelwert, z$S(u, y) = - (u - y)^2$. Daraus folgt, dass es für den zweiten Moment eine Bewertungsregel gibt (nicht zentriert), z$S(w, y) = - (w - y^2)^2$.
Um eine Varianzprognose unvoreingenommen auszuwerten, reicht es in diesem Fall aus, die Prognose nur für zwei Parameter abzufragen, den ersten und den zweiten Moment, die die Varianz bestimmen. Mit anderen Worten, es ist eigentlich nicht notwendig, die vollständige Verteilung zu erstellen und zu bewerten. (Dies ist im Grunde Ihr Vorschlag: Wir bewerten zuerst den bedingten Mittelwert, dann den Rest ungefähr.)
Es gibt natürlich andere Volatilitätsmaße als die Varianz, und es wird untersucht, ob sie "direkt auslösbar" sind (dh es gibt eine geeignete Bewertungsregel, die sie hervorruft) oder, falls nicht, ihre "Auslösungskomplexität" (dh wie viele Parameter müssen) aus der zugrunde liegenden Verteilung extrahiert werden, um sie zu bewerten). Ein Ort, an dem dies untersucht wird, sind Risikomaßnahmen im Finanzbereich. Die untersuchten Statistiken umfassen Erwartungswerte, Value-at-Risk und bedingten Value-at-Risk.
Es gibt einige allgemeine Diskussionen in Gneiting, Making and Evaluating Point Forecasts , Journal der American Statistical Association (2011).https://arxiv.org/abs/0912.0902. Die Komplexität der Erhebung wird in Frongillo und Kash, Vector Valued Property Elicitation , Konferenz über Lerntheorie (COLT, 2015) untersucht.http://proceedings.mlr.press/v40/Frongillo15.html
Vielleicht ist es das, wonach Shenflow sucht, die Sache so einfach wie möglich zu halten. Damit:
Aber wie bewerten wir ARCH / GARCH-Prognosen richtig?
Die Dinge sind nicht so anders als im bedingten Mittelfall wie bei ARMA. Der Trick ist, dass Sie sich darum kümmern müssen, was Sie vorhersagen möchten.
Zum Beispiel mit finanziellen Erträgen ($r_t$) ist üblich, um die Volatilität beispielsweise als quadratische Rendite zu identifizieren $r_t^2$. Ein Modell wie ARCH / GARCH gibt Ihnen nun eine Spezifikation für die bedingte Varianz:$V[r_t|r_{t-1},…, r_{t-p}]$
Zum Beispiel in ARCH (1) Fall haben wir $V[r_t|r_{t-1}]= \omega + \alpha_1 r_{t-1}^2 $
Um die Prognosegenauigkeit zu bewerten, müssen Sie dann die bedingte Varianz (Volatilitätsprognose) mit der quadratischen Rendite (beobachtete Volatilität) vergleichen. Für die Genauigkeitsbewertung ist dann ein mittlerer quadratischer Verlust üblich. Im Fall ARCH (1):
$ MSE [r_t^2 - (\omega + \alpha_1 r_{t-1}^2)] $ für einige $t$
Beachten Sie, dass hinter diesem Beispiel die Annahme eines bedingten Mittelwerts von Null für steht $r_t$. Andernfalls fallen die zweiten Momente und Abweichungen nicht zusammen, auch wenn die Idee nicht so unterschiedlich ist, und die Dinge werden komplizierter.