Gleichmäßige Konvergenz des Integrals

Question

Ich versuche das zum ersten Mal zu verstehen. Ich muss prüfen ob$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$ist einheitlich konvergierend oder nicht. Ich vermute, es ist nicht konvergent, wenn$\alpha \in ]0,\infty[$aber ich bin nicht 100% sicher, ob ich es richtig bewiesen habe oder wie ich es beweisen soll. Was ich also getan habe ist:

Nehmen wir an, es ist einheitlich konvergent. Dann gibt es eine$p \in \mathbb{N}$ so dass $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ Ich bin mir nicht sicher, welche Zahl ich für einen Widerspruch in "etwas" eingeben soll.

Und wenn das stimmt, dann die Funktion $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$ist begrenzt. ich weiß das$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$existiert nicht. Ist das ein Widerspruch? Warum widerspricht dies der Tatsache, dass$f$ist begrenzt? (wenn$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ Ich hätte keine Zweifel, aber es gibt keine - das Limit existiert einfach nicht, also weiß ich nicht, wie ich es rechtfertigen soll.

Ich hoffe, ich war mir über meine Zweifel klar. Vielen Dank!

Answer 1

Das Integral ist gleichmäßig konvergent für $\alpha \in [a,\infty)$ wo $a > 0$ durch den Weierstrass M-Test, aber nicht auf $(0,\infty)$.

Für das erste Integral mit $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ wir haben

$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$

Da konvergiert die RHS nicht zu $0$ wie $n \to \infty$wird das Cauchy-Kriterium für eine gleichmäßige Konvergenz verletzt.