Glücksspielfrage
Übung 4.21: In einem Spiel gewinnen Sie \ $ 10 mit der Wahrscheinlichkeit $ \ frac {1} {20} $ und verlieren \ $ 1 mit der Wahrscheinlichkeit$\frac{19}{20}$. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit ein, dass Sie nach den ersten 200 Spielen weniger als 100 US-Dollar verloren haben. Wie wird sich diese Wahrscheinlichkeit nach 300 Spielen ändern?
Versuch :
Zunächst zeigen wir die Gewinne und Verluste zusammen in einer einzigen Variablen. Definieren Sie \ begin {Gleichung *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {Gleichung *}, wobei $ W_n $ die Gewinne nach $ n $ Spielen bezeichnet und $ S_n $ die Anzahl der Gewinne in $ n $ Spielen definiert. Somit ist \ begin {Gleichung *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr). \ end {Gleichung *} Nun wenden wir in beiden Fällen den zentralen Grenzwertsatz mit unterschiedlichen Werten von $ n $ an .
Sei $ n = 200 $ , dann $ S_n \ sim Bin (200, \ frac {1} {20}) $ . Wir wünschen uns daher $ S_n> \ frac {100} {11} $ . Außerdem ist $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ und Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Somit folgt aus CLT mit der Kontinuitätskorrektur, dass \ begin {Gleichung *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}} \ biggr) \ ca. 1 - \ Phi (-0,457169) \ ca. 0,6772. \ end {Gleichung *}
Jetzt gibt das Buch eine andere Antwort für den ersten Fall von 200 Spielen, nämlich 0,5636. Ich möchte meinen Fehler verstehen, bevor ich zum nächsten Fall übergehe
Intuitiv ist dies auch sinnvoll, da die Bedingung von $ S_n> \ frac {100} {11} $ nahe der Spitze der Glockenkurve der Normalverteilung liegen sollte, da der erwartete Wert von 10 nahe bei $ \ frac {100} liegt. {11} $ . Für mein Leben kann ich den Fehler in meiner Berechnung jedoch nicht erkennen.
(Die andere Math Stack Exchange-Frage für diese Fragen hat für mich nichts Wesentliches geklärt, daher dieser Beitrag.)
In einem Glücksspiel weniger als 100 Dollar verlieren.
Antworten
Wenn $X$ ist die zufällige Anzahl der Siege in $n$ Spiele also $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ und die Nettogewinn / -verlust-Zufallsvariable ist $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ So $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ Dieser letzte Ausdruck ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass $X$kann keine Bruchwerte annehmen. Folglich,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ Dies ist die genaue Wahrscheinlichkeit: Die einzige Annäherung besteht hier in der Rundung des Bruchs auf eine Dezimalstelle.
Dies gibt auch einen wichtigen Einblick, warum Ihre Antwort falsch ist: Nur weil Sie eine normale Näherung mit Kontinuitätskorrektur verwenden, bedeutet dies nicht die Ergebnisse für $W$ dass Sie in die gewünschte Wahrscheinlichkeit einbeziehen möchten, kann außerhalb des Probenraums für liegen $W$.
Zum Beispiel, wenn $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$und ich bitte dich darum $\Pr[U < 225.999]$müssten Sie zuerst schreiben $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, Dann gelten Sie Kontinuitätskorrektur anzunähern als$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$Gleiches gilt hier; so$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Offensichtlich rundet Ihr Text vor Abschluss der Berechnung oder verwendet seitdem eine normale Standardtabellensuche ohne Interpolation $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. In jedem Fall die Annäherung$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ weicht viel zu sehr ab.