Grenzpunkte / Clusterpunkte von $a:$ $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Q}$

Question

Also habe ich die Bijektion $a:$ $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Q}$.

Ich wurde gebeten, die Grenzpunkte / Clusterpunkte der Sequenz zu finden $a_n = a(n)$.

Ich weiß, dass diese Bijektion seitdem existiert $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q}$sind beide zählbar. Nachdem ich mein Skript gelesen habe, weiß ich, wie sie es mit Cantors diagonalem Argument konstruiert haben. Hier stecke ich allerdings fest, da ich gerade gelesen habe, dass diese Sequenz anscheinend jede reelle Zahl als Grenzpunkt der Sequenz hat. Wie kann dies nachgewiesen werden?

Answer 1

Sie müssen nicht wissen wie $a$ist definiert. Lassen$a : \Bbb{N} \to \Bbb{Q}$sei jede Bijektion. Bei jeder reellen Zahl$x$ und $\epsilon > 0$gibt es unendlich viele rationale Zahlen $q \neq x$ mit $|x - q| < \epsilon$ und als solche $q$ ist $a_k$ für einige $k$, $x$ ist ein Grenzpunkt der Sequenz $a_1, a_2, \ldots$. Sie können eine Teilsequenz beschreiben, die zu konvergiert$x$ explizit durch definieren $n_k$ der Kleinste sein $n$ so dass $a_n \neq x$ und $|x - a_n| < \frac{1}{k}$ zum $k = 1, 2, \ldots$. Dann$\lim_{k \to \infty}a_{n_k} = x$.

Answer 2

Die Reihenfolge ist gegeben durch $$a_{\frac{q(q-1)}{2}+p}=\frac{p}{q},\quad p\leq q.$$

• Wenn $\lambda \in (0,1]\cap \mathbb Q$, dann $\lambda =\frac{p}{q}$ für einige $p,q\in\mathbb N^*$, $p\leq q$. Nehmen$$m_k=\frac{kq(kq-1)}{2}+kp,$$ dann $x_{m_k}=\lambda $.

• Wenn $\lambda =0$ist das Argument ähnlich.

• Wenn $\lambda \in (0,1)\setminus \mathbb Q$durch die Dichte von $\mathbb Q$ im $\mathbb R$, es gibt $(p_k)$, $(q_k)$ wo $p_k\leq q_k$ und $$\lim_{k\to \infty }\frac{p_k}{q_k}=\lambda .$$ einstellen $m_k=\frac{kq_k(kq_k-1)}{2}+kp_k$, und dann $(x_{m_k})$ ist eine Teilsequenz, die konvergiert $\lambda $.