Größter Singularwert der Dreiecksmatrix

Question

Lassen $R\in\mathbb{R}^{d\times d}$ sei eine obere Dreiecksmatrix.

Die Eigenwerte von $R$ ist dann seine diagonalen Einträge, das heißt, $(R_{ii}, e_i)$ ist ein Eigenpaar von $R$ schon seit $Re_i=R_{ii}e_i$.

Ist es möglich, den größten Singularwert zu binden? $\sigma_\max (R)=\sqrt{\lambda_\max (RR^T)}$ durch die diagonalen Einträge von $R$?

---

Weyls Ungleichung sagt es uns$\lambda_\max \le \sigma_\max$Das ist die falsche Richtung. Aber vielleicht können wir so etwas bekommen$\sigma_\max < \lambda_\max^2$ unter der Annahme $\lambda_\max>1$? Oder kann der größte Singularwert beliebig größer sein?

Answer 1

Ist es möglich, den größten Singularwert zu binden? $\sigma_\max (R)=\sqrt{\lambda_\max (RR^T)}$ durch die diagonalen Einträge von $R$?
Wenn Sie sich die Unbegrenztheit der Frobenius-Norm ansehen, lautet die Antwort natürlich nein.

mit Standardbasisvektoren $\mathbf e_k$, Erwägen
$R' := R +\alpha \mathbf e_1\mathbf e_d^T$
$R$ und $R'$ haben die gleichen diagonalen Einträge und würden daher die gleiche angeblich feste Obergrenze haben $M$. Doch durch Auswahl groß genug$\alpha$ wir haben
$M\lt \frac{1}{d}\big \Vert R'\big\Vert_F \leq \sigma_1$