Helfen Sie beim Verständnis eines Poisson-Prozesses

Question

nur eine schnelle (vermutlich). Ich versuche nur, ein paar Dinge in den Kopf zu bekommen:

Lassen $N_{t},t\geq 0$ein Zählprozess sein. dann sagen wir, dass ein Zählprozess ein Poisson-Prozess der Intensität ist$\lambda$ wenn

• die Zufallsvariablen $N_{t+s} - N_{t}$ ist unabhängig von $\{N_u, 0 \leq u \leq t\}$ für alle $s,t \geq 0$
• Die Zufallsvariable $(N_{t+s} - N_{t}) \sim Pois(\lambda s)$

Diese Definition entspricht: $\forall t \geq 0:$

• $P(N_{t+h} - N_{t} = 1) = \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 0) = 1 - \lambda h + o(h)$
• $P(N_{t+h} - N_{t} = 2) = o(h)$

Nach meinem Verständnis kann der Prozess in jedem Zeitschritt nur um eins erhöht werden. (dritter Aufzählungspunkt). Dass die Wahrscheinlichkeit einer Erhöhung um eins durch unsere Intensität multipliziert mit der Dauer unseres Zeitintervalls gegeben ist. und der zweite Punkt ist offensichtlich unser Kompliment.

Dann sprechen wir über Inkrementierungszeiten (von denen ich glaube, dass sie den Haltezeiten entsprechen). $T_{1},T_{2},\cdots$ dann sagen wir das $T_n = \inf\{t\geq 0: N_{t} \geq n \}$ Das heißt, wenn wir zum ersten Mal einen bestimmten Wert (n) überschreiten.

dann die interarrival Zeiten $(T_{n+1}-T_{n}) \sim \exp(\lambda)$

Also ... nach meinem Verständnis dann; $T_{n}$ ist die Zeit, in der wir eine Zahl gezählt haben, die größer als n.und ist $T_{n+1}-T_{n}$ Wie lange hat es gedauert, vom vorherigen Bundesstaat dorthin zu gelangen?

Wenn ja, dann nehmen wir an, wir spezifizieren einen Prozess. Würden wir einen gewissen Wert aus unserem Poisson-Prozess ziehen, dann eine durch einen exponentiellen Prozess bestimmte Zeit warten und dann einen gewissen Wert aus unserem Poisson-Prozess ziehen?

so wird es sein. Exponentialzeitwert 1: - Anzahl 1 - Exponentialzeitwert 2 - Anzahl 2 ... und so weiter.

Answer 1

Es ist bestenfalls ziemlich ungenau zu sagen, "der Prozess kann in jedem Zeitschritt nur um eins erhöht werden", weil

• Dies ist ein zeitkontinuierlicher Prozess, daher gibt es keine "Zeitschritte"
• Es gibt kein Zeitintervall, das so kurz ist, dass die Prozesse in diesem Zeitintervall nicht um mehr als eins erhöht werden können. Vielmehr ist ein Inkrementieren um mehr als eins höchst unwahrscheinlich, selbst im Vergleich zu dem sehr unwahrscheinlichen Ereignis eines Inkrements während eines winzigen Zeitintervalls.

Der Prozess kann jedoch bei jedem Inkrementieren jeweils nur um eins erhöht werden.

Man sollte den Unterschied zwischen zwei verschiedenen Wörtern kennen: "Kompliment" (mit einem "i") und "Komplement" (mit einem "e"). Wenn ich sage, dass Ihr Beitrag brillant ist, ist das ein Kompliment (mit einem "i"). Die Ergänzung (mit einem "e") von XYZ ist alles, was zu XYZ hinzugefügt werden muss, um es zu vervollständigen . Die Tatsache, dass ein "e" sowohl in "Komplement" als auch in "Vollständig" an derselben Position innerhalb des Wortes verwendet wird, ist kein Zufall.