Hilfe bei der Taylor Polynomial Estimation Solution.

Question

Schätzen $e^{0.1}$ mit einem Taylor-Polynom um 0 auf 6 Dezimalstellen. Verwenden Sie die Fehlergrenze, um zu beweisen, dass Ihre Schätzung auf mindestens 6 Dezimalstellen genau ist.

Ist meine Lösung korrekt?

Wir wissen, dass die Ableitungen jedes Terms gleich sind $e^x,$ als Ableitung von $e^x$ ist immer gleich $e^x.$ Deshalb haben wir das $f^{(n)} (0) = 1$ für alle $n.$ Dies macht unser Taylor-Polynom gleich $$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ...$$ Da schätzen wir $e^{0.1}$ bis 6 Dezimalstellen verwenden wir ein Quartic-Polynom, um zu erhalten $$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} = \boxed{1.105171}.$$ Wir wissen, dass der absolute Wert des Fehlers bei der Schätzung $e^{0.1}$ durch ein Taylor-Polynom vom Grad 4 ungefähr $a=0$ ist höchstens $$\left| \frac{M}{5!}(0.1)^{5} \right|,$$ wo $M$ ist der Maximalwert von $|f^{5}(x)|$ zum $x$ auf $[0,0.1].$ Das gibt uns $M = e^{0.1},$ oder $$\left| \frac{e^{0.1}}{5!}(0.1)^{5} \right| \approx 0.00000009209 < E = 0.000001.$$ Daher ist unsere Schätzung auf mindestens 6 Dezimalstellen genau

Answer 1

Sie sollten den Fehler beenden, um etwas daran zu binden, um die Verwendung eines vorberechneten Werts von zu vermeiden $e^{.1}$.

Wir haben$$1.105171<e^{.1}<1.105171+\frac{10^{-5}}{120}e^{.1}$$ Die zweite Ungleichung gibt $$e^{.1}<\frac{1.105171}{1-\frac{10^{-5}}{120}}\approx1.105171092097591$$ so dass $$1.105171<e^{.1}<1.1051711$$