Ich bin bei diesem definitiven Integrationsproblem geblieben

Question

Ich habe versucht, das folgende definitive Integral zu lösen, konnte aber keine Fortschritte erzielen.

$$\int_{-5}^{-2}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} dx+\int_{1/6}^{1/3}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} dx + \int_{6/5}^{3/2}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} dx $$

Das einzige, was ich herausfinden konnte, war, dass der Wert der zu integrierenden Funktion bei -5, 1/6 und 6/5 gleich ist. Auch bei -2, 1/3 und 3/2 ist es dasselbe. Ich bin mir nicht sicher, wie das helfen würde.

Ich kann mir keine andere bestimmte integrale Eigenschaft vorstellen. Außerdem kann eine unbestimmte Integration zu langwierig werden.

Jede Hilfe wäre dankbar.

Answer 1

$$\mathcal{I}=\underbrace{\int_{-5}^{-2}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x}_{I_1}+\underbrace{\int_{1/6}^{1/3}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x}_{I_2} + \underbrace{\int_{6/5}^{3/2}\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x}_{I_3} $$

Wir werden die Substitution verwenden $u=\frac{1}{1-x}$ zum $I_1$ und $u=1-\frac{1}{x}$ zum $I_3$ so dass alle drei Integrale die gleichen Grenzen haben wie $I_2$:: \begin{align*} I_1 &= \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{(x^2 - x)^2} {x^2(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x \\ I_3 &=\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{(x^2 - x)^2} {(x-1)^2(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x \\ \end{align*} Schreiben Sie jetzt neu $\mathcal{I}$ wie: \begin{align*} \mathcal{I}=I_1+I_2+I_3&=\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \left(1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x-1)^2}\right)\frac{(x^2 - x)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x\\ &= \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x\\ \end{align*}Nun werde ich die Bewertung des vorherigen Integrals nach der Ostrogradsky-Methode vorstellen. Es gibt wahrscheinlich eine einfache Substitution oder einen einfacheren Ansatz, aber diese Methode wird funktionieren. Eine ausführliche Erklärung der Ostrogradsky-Methode finden Sie hier .\begin{align*} \int \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x &= \frac{Ax^2+Bx+C} {x^3 - 3 x + 1} +\int \frac{Dx^2+Ex+F} {x^3 - 3 x + 1} \; \mathrm{d}x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\int \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x \right) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(\frac{Ax^2+Bx+C} {x^3 - 3 x + 1} +\int \frac{Dx^2+Ex+F} {x^3 - 3 x + 1} \; \mathrm{d}x \right)\\ \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} &= -\frac{Ax^4+2Bx^3+(3A+3C)x^2-2Ax-3C}{\left(x^3-3x+1\right)^2} +\frac{Dx^2+Ex+F} {x^3 - 3 x + 1} \\ (x^2 - x+1)^2 &= Dx^5+(E-A)x^4+(F-3D-2B)x^3+(D-3E-3C-3A)x^2 \\ & \quad +(E-3F+2A)x+(B+3C) \\ \end{align*} Hier können wir ein Gleichungssystem aufstellen, nach dem es zu lösen gilt $A,B, C,D,E, \text{ and }F$:: \begin{align*} D&=0\\ E-A&=1\\ F-3D-2B&=-2\\ -3A-3C+D-3E&=3\\ 2A-3F+E&=-2\\ B+3C&=1\\ \end{align*} Welche ergibt $A=-1$, $B=1$, $C=0$, $D=0$, $E=0$, und $F=0$. Deshalb,\begin{align*} \mathcal{I} &= \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{(x^2 - x+1)^2} {(x^3 - 3 x + 1)^2} \; \mathrm{d}x = \frac{-x^2+x+0} {x^3 - 3 x + 1}\bigg \rvert_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} +\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \frac{0x^2+0x+0} {x^3 - 3 x + 1} \; \mathrm{d}x \\ &= \frac{x-x^2}{x^3-3x+1} \bigg \rvert_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{3}} \\ &= \boxed{\frac{624}{109}} \\ \end{align*}

Sie können diese Antwort überprüfen, indem Sie eine Computersoftware (ich habe Wolfram verwendet) zum Berechnen verwenden $I_1$ hier zu sein$\approx 4.41392$, $I_2$ hier zu sein$\approx 0.419169$, und zuletzt $I_3$ hier zu sein$\approx 0.891683$;; und so$\mathcal{I} \approx 4.41392+0.419169+0.891683 = 5.724772$ und $\frac{624}{109} \approx 5.72477064$.