IMO 1998 - Kombinatorik

Question

Ich versuche dieses IMO Combinatorics-Problem $1998$ P2 das geht so:

In einem Wettbewerb gibt es $m$ Teilnehmer und $n$ Richter, wo $n \geq 3$ist eine ungerade ganze Zahl. Jeder Richter bewertet jeden Teilnehmer entweder als „bestanden“ oder als „nicht bestanden“. Annehmen$k$ ist eine Zahl, bei der für zwei Richter die Bewertungen höchstens übereinstimmen $k$Teilnehmer. Beweise das$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

Ich bin völlig verwirrt, wie ich anfangen soll. Könnten Sie mir irgendwelche Hinweise geben?

Answer 1

Betrachten Sie die Anzahl der Kombinationen $(\{j_1, j_2\},c)$, wo $\{j_1, j_2\}$ ist ein Paar von verschiedenen Richtern, und $c$ist ein Kandidat, dem sie zustimmen. Sie können diese Menge auf zwei Arten erreichen:

1. Summe über Teilnehmer, die Anzahl der Richterpaare, die sich auf sie einigen.

2. Summe über Richterpaare, die Anzahl der Teilnehmer, auf die sie sich einigen.

Dann kann die in 1 summierte Menge unten durch einen Ausdruck begrenzt werden, der beinhaltet $n$ (merken $n$ ist ungerade), während die in 2. summierte Menge oben durch begrenzt werden kann $k$. Das Kombinieren ergibt die gewünschte Ungleichung.