Inkonsistente Lösung der Differentialgleichung

Question

$Q.$ Sei f (x) eine stetige Funktion, die die folgende Differentialgleichung erfüllt: $$f(x)=(1+x^2)(1+\int_0^x\frac{f^2(t)dt}{1+t^2})$$ $$\text{Find f(1)}$$ Meine Arbeit - 1) Putten $x=0$ in der Gleichung erhalten wir $f(0)=1$ 2) Teilen durch $1+x^2$ und differenzieren wrt $x$ wir bekommen- $$(\frac{y}{1+x^2})'=\frac{y^2}{1+x^2}\qquad\text{∴ y=f(x)}$$ Vereinfachung $$y'(1+x^2)-2xy=y^2(1+x^2)$$ also entweder $f(x)=0$ oder $$\frac{-dy(1+x^2)}{y^2}+\frac{2xdx}{y}=(-1-x^2)dx$$ $$\frac{d}{dx}(\frac{1+x^2}{y})=\frac{d}{dx}(-x-\frac{x^3}{3})$$ $$\frac{1+x^2}{y}=-x-\frac{x^3}{3}+c$$ Verwenden von $y(0)=1$ wir bekommen $c=1$ und daher $$f(1)=-6$$Mein Problem - wenn ich die Frage betrachte, muss die RHS der Gleichung unabhängig vom Wert von f (x) immer positiv (quadratisch) sein, aber die Antwort wird negativ. Vermisse ich etwas Oder liegt ein Fehler in der Frage vor? Oder ist$f(x)=0$ die einzig akzeptable Lösung?

Answer 1

Ihre Lösung der Integralgleichung sieht für mich gut aus, und Ihre Beobachtung des Vorzeichens ist gut.

Das Problem ist, dass die Lösung explodiert, wenn $x^3+3x-3=0$, was passiert wenn $x$ nähert sich $0.82$, CA.

Answer 2

$$\frac{f(x)}{1+x^2}=1+\int_{0}^{x} \frac{f^2(t)}{1+t^2}dt \implies f(0)=1$$ D. wrt $x$mit Lebnitz zu bekommen $$f'(x)-\frac{2x}{1+x^2}f(x)=f^2(x)\implies f^{-2}f'-\frac{2x}{1+x^2}\frac{1}{f}=1$$Dies ist die Bernoulli-Gleichung. Lassen$1/f=v$, dann bekommen wir $$\frac{dv}{dx}+\frac{2x}{1+x^2}v=-1$$ Dies ist eine lineare Gleichung, deren Integrationsfaktor ist $I=\exp[\int \frac{2x}{1+x^2}dx]\implies I= (1+x^2)$ $$v=(1+x^2)^{-1} \int -1(1+x^2) dx + C (1+x^2)^{-1}.$$ $$\implies v=\frac{-x-x^3/3}{1+x^2}+C(1+x^2)^{-1}=\frac{1}{f}$$ Benutzt $f(0)=1 \implies C=1.$ Schließlich, $$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x-x^3/3}.$$ So $f(1)=-6.$ Die Handlung von $f(x)$ ist unten angegeben, worin $f(x)>0$nur in (0,0.8177 ..) gibt es dann eine Singularität bei $x=0.8177..$und es wird negativ. Die Antwort auf die interessante Frage von OP könnte in der Nichtlinearität dieser ODE liegen.