Integrale Transformation reduziert?

Question

Ich habe festgestellt, dass die folgenden Integrale gleich sind:

$$ \int_0^1sx^{s-1}\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx=\int_0^1\exp\bigg(\frac{st}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Lassen $f^s(x)=x^s,$ dann kann die LHS geschrieben werden als $$ \int_0^1\frac{d}{dx}\bigg(x^s\bigg)\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx$$

Es erinnert mich an die Mellin-Transformation auf einer begrenzten Unterstützung.

Ist die RHS eine Art verkleidete Mellin-Transformation?

Es scheint so als. Dies bedeutet, dass für eine Konstante$r>0$ Das folgende Integral stellt eine Mellin-Transformation dar, bei der das einzige Objekt im Integranden der Kernel ist:

$$ \int_0^1 \exp\bigg(\frac{r}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Ich denke, für diesen speziellen Kernel kann die Mellin-Transformation nur mit dem Kernel selbst geschrieben werden.

Ist das korrekt?

Answer 1

Zum $s > 0$unter der Annahme, dass es in einem bestimmten Intervall absolut konvergiert $(a,b)$

$$\int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx=\int_0^\infty x^{s-1}f(e^{\log x})dx=\frac1s \int_{0}^\infty f(e^{\frac1s \log t})dt\tag{1}$$

Also ja, die RHS ist eine getarnte Transformation von Mellin und Laplace.

Mehr Spaß beim Fragen (durch analytische Fortsetzung) nach welchen $f$ und in welchem ​​Sinne (analytische Funktion) bleibt die Gleichheit wahr $\Re(s)\in (a,b)$ Komplex.