Inverse einer Matrix und einer Matrixbeziehung

Question

Lassen $A$ sei die Matrix $$ A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} $$ Ich versuche zu finden $A^{-1}$ als eine Beziehung von $I_{3}, A$ und $A^{2}$ und auch um das zu beweisen $A^{2006}-2A^{2005}=A^{2}-2A$. Beim ersten habe ich das bemerkt$$A^{n}= \begin{pmatrix} 2^{n} & -(2^{n}-1) & -(2^{n}-1)\\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} , A^{k}= \begin{pmatrix} 2^{k} & -(2^{k}-1) & -(2^{k}-1)\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$$ zum $n$ ungerade und $k$Auch wenn ich nicht weiß, wie ich von hier aus vorgehen soll. Auch die Gleichheit$A^{2006}-2A^{2005}=A^{2}-2A$ führt zu $A^{2004}(A-2I_{3})=A-2I_{3}$ aber ich weiß auch nicht, was ich als nächstes tun soll $(A-2I_{3})$ist nicht invertierbar. Irgendeine Hilfe?

Answer 1

Da das charakteristische Polynom von $A$ ist $-\lambda ^3+2\lambda^2+\lambda-2$Sie wissen, nach dem Cayley-Hamilton-Theorem, dass $-A^3+2A^2+A-2\operatorname{Id}_3=0$. Deshalb,$$A^{-1}=-\frac12A^2+A+\frac12\operatorname{Id}_3.$$Andererseits,\begin{align}A^{2006}-2A^{2005}&=A^{2003}(A^3-2A^2)\\&=A^{2003}(A-2\operatorname{Id}_3)\\&=A^{2001}(A^3-2A^2)\\&=A^{2001}(A-2\operatorname{Id}_3)\\&=\cdots\end{align}

Answer 2

In diesem Fall ist es nicht erforderlich, das charakteristische Polynom von zu berechnen $\;A\;$ und wende den Cayley-Hamilton-Satz an.

Schon seit $\;A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix}\;$ und $\;A^2=\begin{pmatrix} 4 & -3 & -3\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\;,\;$ die erste Spalte der Matrix $\;A-2I_3\;$ enthält nur Nullen, außerdem die zweite und die dritte Zeile der Matrix $\;A^2-I_3\;$ enthalten daher nur Nullen

$\left(A-2I_3\right)\left(A^2-I_3\right)=0\;,$

$A^3-A-2A^2+2I_3=0\;,$

$I_3=\frac{1}{2}A+A^2-\frac{1}{2}A^3\;,$

und durch Multiplizieren beider Seiten der vorherigen Gleichheit mit $\;A^{-1}$Das verstehen wir

$A^{-1}=\frac{1}{2}I_3+A-\frac{1}{2}A^2\;.$