Ist das Haar-Maß unter Konjugation invariant?

Question

Bezeichnen Sie das Haar-Maß für die Einheitsgruppe $U(\mathcal X)$ durch $\eta$. Gilt diese Gleichung (vorausgesetzt, das Integral existiert):

$\int d\eta(U) f(U) = \int d\eta(U) f(U^\dagger)$?

Intuitiv macht dies Sinn, weil man einen Zufall wählt $U$ scheint dasselbe zu sein wie die Auswahl eines Zufalls $U^\dagger$, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das beweisen soll.

Answer 1

Ich werde diese Frage in einem allgemeineren Kontext beantworten. Sie wissen vielleicht, dass der Satz von Haar Ihnen dies für jede lokal kompakte Gruppe sagt$G$gibt es ein einzigartiges linksinvariantes (Borel) Maß $\mu$bis zu einer positiven Konstante. Linke Invarianz bedeutet das$\mu(g A)=\mu(A)$ für jeden $g\in G$ und (messbar) gesetzt $A\subset G$. Dies ist das (linke) Haar-Maß an$G$.

Das gleiche Argument liefert ein eindeutiges rechtsinvariantes Maß bis zu einer Konstanten. Beachten Sie, dass wir ein linksinvariantes Haar-Maß immer in ein rechtsinvariantes Haar-Maß umwandeln können, indem wir die Umkehrung nehmen:$\tilde\mu(A) := \mu(A^{-1})$. Genau das interessiert Sie.

Für bestimmte Gruppen fallen die links- und rechtsinvarianten Haar-Maße (unimodulare Gruppen) und die einheitliche Gruppe zusammen $U(d)$ist eine solche Gruppe. Für diese Gruppen ist Ihre Aussage korrekt. Der Beweis ist einfach:

Unimodularität impliziert, dass die "Umkehrung" des normalisierten Haar-Maßes $\mu$ auf $U(d)$ ist selbst eine links- und rechtsinvariante Haar-Messung $U(d)$. Durch die Einzigartigkeit$\tilde\mu$ kann sich nur durch eine positive Konstante von unterscheiden $\mu$. Es ist jedoch klar, dass beide Maßnahmen somit normalisiert sind$\tilde\mu = \mu$.