Kalman Filter Design

Question

Ich bin neu im Kalman-Filterdesign und habe Probleme zu verstehen, wie die Kalman-Filtermethode auf mein Problem angewendet werden kann. Ich habe eine Forschungsarbeit gelesen, die zu beschreiben scheint, was ich versuche zu tunhttps://journals.sagepub.com/doi/pdf/10.5772/57516. Das Papier beschreibt Experimente, bei denen die gesammelten Daten aus einer verrauschten Messung gepaart mit einer Wahrheitsmessung bestehen. In der Arbeit werden die Kalman-Filtermatrizen wie folgt bezeichnet:

$$\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix} b_{x} &P_{11} &P_{12} &P_{13} \end{bmatrix}^{T}$$

$$\boldsymbol{H}=\begin{bmatrix} 1 &r &0 &0\\ 1 &-r &0 &0\\ 1 &r/\sqrt{2} &r/\sqrt{2} &0\\ 1 &r/\sqrt{2} &0 &r/\sqrt{2}\\ \end{bmatrix}$$

$$\boldsymbol{\Phi} = \boldsymbol{I}_{4\times4}$$

Der Zustandsvektor beschreibt Vorspannungs- und Skalierungsfaktorzustände. Obwohl ich nicht ganz sicher bin, wie die H-Matrix abgeleitet wurde, kann ich nicht verstehen, wie der Filter mit realen Daten verwendet werden würde, dh die beobachtete Messung ersetzt die Elemente r in der H-Matrix, aber die Grundwahrheit, die dies kalibrieren soll oder verglichen mit ist ein einzelner Wert, dh wir kennen die wahre Rate oder wahre Beschleunigung, wir kennen nicht die wahren Vorspannungs- und Skalierungsfaktorzustände. Wie schließt der Filter dann diese Grundwahrheit ein, von der ich annehme, dass sie verwendet wird, um seine Schätzung der Bias- und Skalierungsfaktorterme zu aktualisieren? Könnte jemand etwas Licht in die Anordnung des Kalman-Filters bringen, damit die Schätzung diese Kombination aus Messung und Grundwahrheit verwenden kann?

Answer 1

Die Messungen werden nicht eingefügt $H$. Das$H$Matrix ist die "Messmatrix" oder "Ausgabematrix", sodass Sie beim Multiplizieren eine Schätzung der Ausgabe erhalten$H$ durch Ihre Zustandsvektorschätzung $\hat{X}$. Sie können dies in Gleichung (23) in dem Papier sehen, das Sie auf Dokument Seite 7 verlinkt haben:

Das Modell kann wie folgt ausgedrückt werden:

$$ X_{i+1} = \Phi X_i + w_i \\ Z_{i+1} = HX_{i+1} + \epsilon_{i+1} \\ $$

Die Kalman-Filteraktion erfolgt in Gleichung (25), wenn der Kalman-Gewinn zunimmt $K_i$wird auf den Messfehler oder "Rest" angewendet. Der Messfehler ist die Differenz zwischen dem, was Sie tatsächlich gesehen haben, dem Messvektor$Z_i$und was Sie erwartet haben, ist die Ausgabematrix $H_i$ mal den vorhergesagten Zustand $\hat{X}_{i|i-1}$.

Der Kalman-Filter nimmt diesen modifizierten Rest und fügt ihn dem vorhergesagten Zustand hinzu, um den "korrigierten" oder gefilterten Zustand zu erhalten. Es passiert alles als eine Gleichung in (25):

$$ \hat{X}_i = \hat{X}_{i|i-1} + K_i\left(Z_i - H_i\hat{X}_{i|i-1}\right) \\ $$

Wo wieder die $\hat{X}_{i|i-1}$ Begriff bedeutet "angesichts meines vorherigen Zustands $i-1$, was sagt das Modell über meinen Zustand $i$ sollte sein? "Umschreiben aus der früheren Gleichung:

$$ X_{i+1} = \Phi X_i + w_i \\ $$

oder

$$ X_{i|i-1} = \Phi X_{i-1} \\ $$

oder

$$ X_{i|i-1} = (I + A\Delta t)X_{i-1} + B\Delta t u \\ $$

Das ist nur eine numerische Integration von

$$ \dot{x} = Ax + Bu \\ $$

so dass

$$ x_i = x_{i-1} + \dot{x} \Delta t\\ x_i = x_{i-1} + (Ax_{i-1} + Bu)\Delta t \\ x_i = x_{i-1} + A\Delta t x_{i-1} + B \Delta t u\\ x_i = (I + A\Delta t) x_{i-1} + B\Delta t u \\ $$

Hoffe das macht mehr Sinn!