Kernel und Bild der orthogonalen Projektion

Question

Lassen $X$ sei ein Hilbert-Raum und $Y$ sei ein geschlossener Unterraum, jeder Vektor $x \in X$ kann eindeutig dargestellt werden als $x=y+z$, $y \in Y$, $z \in Y^\bot$. Dann die Karte$$P_Y:X \to X, \quad P_Y(x)=y$$ heißt die orthogonale Projektion in $X$ auf zu $Y$.

Das muss ich beweisen $\text{Im}(P_Y)=Y$ und $\ker(P_Y)=Y^\bot$.

Was das Bild betrifft: Das Ergebnis scheint direkt aus der Definition zu folgen: $$P_Y(x)=y \in Y \quad \forall x \in X \implies \text{Im}(P_Y)=Y.$$

Kernel: Es scheint offensichtlich zu sein, aber es ist schwer, sich einen Beweis vorzustellen.

Answer 1

Für das Bild haben Sie nur eine Eindämmung bewiesen, nämlich ${\rm im}(P_Y)\subseteq Y$.
Das andere Containment gilt weil$P_Y(y)=y$ für jeden $y\in Y$.

Schreiben Sie für den Kernel einfach die Definitionen: Nehmen Sie eine beliebige an $x\in X$ gegeben ist, zerlegen Sie es als $x=y+z,\ y\in Y,\ z\in Y^\perp$, dann $$P_Y(x)=P_Y(y+z)=y$$ So ist es $0$ iff $y=0$ iff $x=z$ iff $x\in Y^\perp$.