Kombinatorisches Problem - $5$-stelliger Code mit $3,4,5$ Geschenk

Question

Ich habe ein kombinatorisches Problem, mit dem ich zu kämpfen habe. Hier ist es: "Wie viele 5-stellige Codes haben jeweils eine ihrer Ziffern$3,4,5$? "

Ich verstehe die allgemeine Strategie, bei der wir zuerst sehen, wie wir permutieren können $3,4,5$ mit den anderen leeren Slots ($\frac{5!}{2} = 60$ Wege) und dann multiplizieren wir mit $10^2$ (Die beiden anderen beiden Steckplätze können einen der folgenden haben $10$Ziffern). Jetzt werden wir jedoch doppelt gezählt, wie einige dieser beiden anderen Ziffern$3,4,5$und führt zu doppelten Kombinationen untereinander. Ich kämpfe darum, eine Formel zu finden, um diese auszuschließen.

Answer 1

Es gibt einige Strategien, die wir hier anwenden könnten.

Methode 1: Wir betrachten Fälle abhängig davon, wie oft jede Ziffer erscheint.

Fall 1 : Die Ziffern$3$, $4$, $5$ jedes erscheint genau einmal.

Wählen Sie eine der Positionen für die $3$, eine der verbleibenden vier Positionen für die $4$und eine der verbleibenden drei Positionen für die $5$. Dann kann jede der verbleibenden zwei Positionen mit einer der verbleibenden besetzt werden$10 - 3 = 7$Ziffern. Daher gibt es

$$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 7^2$$

solche Codes.

Fall 2 : Genau eine der Ziffern$3$, $4$, $5$ erscheint zweimal und jeder der anderen erscheint genau einmal.

Wählen Sie eine der Ziffern $3$, $4$, $5$erscheint zweimal. Wählen Sie zwei der Positionen für diese Ziffer. Wählen Sie eine der verbleibenden drei Positionen für die kleinere der beiden verbleibenden Ziffern aus dem Satz$\{3, 4, 5\}$ und eine der verbleibenden zwei Positionen für die verbleibende Ziffer aus dem Satz $\{3, 4, 5\}$. Wählen Sie, welche der verbleibenden sieben Ziffern die verbleibende Position ausfüllt. Es gibt

$$\binom{3}{1}\binom{5}{2}\cdot 3 \cdot 2 \cdot 7$$

solche Codes.

Fall 3 : Genau zwei der Ziffern$3, 4, 5$ erscheinen zweimal und der andere erscheint einmal.

Wählen Sie eine der drei Ziffern $3, 4, 5$erscheint genau einmal. Wählen Sie aus, welche der fünf Positionen diese Ziffer ausfüllt. Wählen Sie zwei der verbleibenden vier verbleibenden Positionen für die kleinere der beiden verbleibenden Ziffern aus dem Satz$\{3, 4, 5\}$Füllen Sie dann die verbleibenden zwei Positionen mit der verbleibenden Ziffer aus dem Satz $\{3, 4, 5\}$. Es gibt

$$\binom{3}{1}\binom{5}{1}\binom{4}{2}$$

solche Codes.

Fall 4 : Genau eine der drei Ziffern$3, 4, 5$erscheint dreimal und jeder der anderen erscheint einmal. Wählen Sie aus, welche der drei Ziffern dreimal angezeigt wird, und wählen Sie dann drei der fünf Stellen für diese Ziffer aus. Wählen Sie eine der beiden verbleibenden Positionen für die kleinere der verbleibenden Ziffern aus dem Satz$\{3, 4, 5\}$, dann füllen Sie die endgültige Position mit der anderen Ziffer. Es gibt

$$\binom{3}{1}\binom{5}{3}\binom{2}{1}$$

solche Codes.

Insgesamt : Da sich diese Positionen gegenseitig ausschließen und erschöpfend sind, fügen Sie die oben genannten Fälle hinzu.

Methode 2: Wir verwenden das Einschluss-Ausschluss-Prinzip.

Es gibt $10^5$Codes. Wir möchten diejenigen ausschließen, in denen mindestens eine der Ziffern vorhanden ist$3, 4, 5$ wird vermisst.

Wir wählen welche der drei Ziffern $3, 4, 5$ausschließen, wodurch neun Möglichkeiten verbleiben, jede der fünf Positionen zu besetzen. Wir subtrahieren also

$$\binom{3}{1}9^5$$

von der Summe.

Wenn wir dies tun, haben wir jedoch jeden Fall subtrahiert, in dem zwei der Ziffern $3, 4, 5$fehlen zweimal, einmal für jeden Weg hätten wir eine dieser Ziffern als fehlende Ziffer festlegen können. Wir wollen solche Fälle nur einmal subtrahieren, also müssen wir sie zur Summe addieren.

Wir wählen welche zwei der drei Ziffern $3, 4, 5$ausschließen, was uns acht Möglichkeiten lässt, jede der fünf Positionen zu besetzen. Also fügen wir hinzu

$$\binom{3}{2}8^5$$

zu unserer laufenden Summe.

Wenn wir jedoch zuerst die Fälle subtrahieren, in denen eine der Ziffern $3, 4, 5$ wird ausgeschlossen und addiert dann die Fälle, in denen zwei der Ziffern $3, 4, 5$ ausgeschlossen sind, haben wir nicht die Fälle ausgeschlossen, in denen alle drei Ziffern $3, 4, 5$sind überhaupt ausgeschlossen. Dies liegt daran, dass wir sie zuerst dreimal subtrahiert haben, einmal für jede Art und Weise hätten wir eine dieser drei Ziffern als ausgeschlossene Ziffer festlegen können. Wir haben diese Fälle dann dreimal hinzugefügt, einmal für jeden der Fälle$\binom{3}{2}$Möglichkeiten, wie wir zwei dieser drei Ziffern als ausgeschlossene Ziffern hätten bezeichnen können. Also müssen wir sie aus der Summe.

Wenn alle drei Ziffern $3, 4, 5$ausgeschlossen sind, haben wir sieben Möglichkeiten für jede der fünf Positionen. Also gibt es

$$\binom{3}{3}7^5$$

Fälle, in denen alle Ziffern $3, 4, 5$ sind ausgenommen.

Nach dem Einschluss-Ausschluss-Prinzip gibt es

$$10^5 - \binom{3}{1}9^5 + \binom{3}{2}8^5 - \binom{3}{3}7^5$$

zulässige Codes.

Wie Sie überprüfen können, liefern die beiden Methoden die gleiche Antwort.