Lösen einer wiederholten Eigenwert-ODE

Question

Ich versuche das System zu lösen: $$ \bar{x}' =\left(\begin{array}{rr}-8 & 4 \\ 0 & -8\end{array}\right)\bar{x}+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right),\space \bar{x}(0)=\left(\begin{array}{rr}1 \\ 3 \end{array}\right) $$

Bisher bin ich davon überzeugt, dass mit den wiederholten Wurzeln $-8$haben wir die allgemeine Lösung: $$ \bar{x}(t)=C_1\left(\begin{array}{rr}1\\ 0\end{array}\right)e^{-8t}+C_2\left(\begin{array}{rr}1\\ 0\end{array}\right)te^{-8t}+C_2\left(\begin{array}{rr}0\\ \frac{1}{4}\end{array}\right)e^{-8t}$$

Dann wähle ich die spezielle Lösung:

$\bar{x}_p=\bar{a}e^{-8t}+\bar{b}te^{-8t}+\bar{c}t^2e^{-8t}$

$\bar{x}_p'=-8\bar{a}e^{-8t}+\bar{b}(e^{-8t}-8te^{-8t})+\bar{c}(2te^{-8t}-8t^2e^{-8t})$

Dann gleichsetzen: $\bar{x}_p'=A\bar{x}_p+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right)$

$e^{-8t}$:: $-8\bar{a}+\bar{b}=A\bar{a}+\left(\begin{array}{rr}3 \\ 1 \end{array}\right)$

$te^{-8t}$:: $-8\bar{b}+2\bar{c}=A\bar{b}$

$t^2e^{-8t}$:: $-8\bar{c}=A\bar{c}$

Lösen $-8\bar{c}=A\bar{c}$::

$-8c_1+4c_2=8c_1$, damit $c_2=0$

$-8c_2=-8c_2$, damit $c_1=\alpha$

$\bar{c}=\left(\begin{array}{rr}\alpha \\ 0 \end{array}\right)$

Lösen $-8\bar{b}+2\bar{c}=A\bar{b}$::

$-8b_1+4b_2=-8b_1+2\alpha$

$-8b_2=-8b_2+0$

$\bar{b}=\left(\begin{array}{rr}\beta \\ \frac{alpha}{2} \end{array}\right)$

Aber ich bin nicht weit davon entfernt zu finden $\bar{a}$, $\bar{b}$ und $\bar{c}$um meine Lösung zu beenden, da ich zu viele freie Variablen habe. Kann jemand sehen, wo ich falsch liege, da ich etwas verwirrt bin? Oder bieten Sie eine bessere Slicker-Methode an, da meine ziemlich klobig erscheint ...

Answer 1

Wir sind gegeben

$$x' = Ax + g = \left(\begin{array}{rr}-8 & 4 \\ 0 & -8\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{rr}3e^{-8t} \\ e^{-8t} \end{array}\right),\space x(0)=\left(\begin{array}{rr}1 \\ 3 \end{array}\right)$$

Wir finden Eigenwerte / Eigenvektoren und haben eine komplementäre Lösung

$$ x_c(t)=e^{-8t}\left(c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \right)\right)$$

Aufgrund der Eigenwerte und der inhomogenen Terme wählen wir

$$x_p(t) = e^{-8t}(\vec a + \vec b t + \vec ct^2)$$

Das gibt

$$x_p'(t) = e^{-8t}((-8 \vec a + \vec b) + (-8\vec b + 2 \vec c) t + (-8\vec c)t^2)$$

Wir haben

$$x_p'(t) = A x_p(t) + \vec g \implies \vec g = x_p'(t) - A x_p(t)$$

Schreiben Sie dies auf (die exponentiellen Terme teilen sich)

$$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1-4a_2 \\ b_2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 c_1 - 4 b_2 \\ -2c_2 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} -4c_2 \\ 0 \end{pmatrix}t^2$$

Daraus erhalten wir

$$a_1 = a_2 = c_2 = 0, b_1 = 3, b_2 = 1, c_1 = 2$$

Wir können jetzt schreiben

$x(t) = x_c(t) + x_p(t) =e^{-8t}\left(c_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}t + \begin{pmatrix} 0 \\ \dfrac{1}{4} \end{pmatrix} \right)\right) + e^{-8t}\begin{pmatrix} 2t^2+ 3t \\ t \end{pmatrix}$

Verwenden Sie dies $x(t)$ mit dem IC bekommen wir

$$x(t) = e^{-8t}\begin{pmatrix} 2t^2+15t+1 \\ t+3 \end{pmatrix}$$

Hinweis: Wir haben unbestimmte Koeffizienten verwendet, um dieses System zu lösen, und das ist nur ein Ansatz, es gibt viele andere Methoden.