Matrixmultiplikation in Indexnotation
Ich versuche das auszudrücken $i$ und $j$th Komponente des Produkts $AB^{T}C$ in Bezug auf die Komponenten von $A$, $B$ und $C$ in Indexnotation / Einstein-Summationskonvention, wobei $A\in\Bbb{R}^{n\times p}$, $B\in\Bbb{R}^{q\times p}$ und $C\in\Bbb{R}^{q\times s}$.
Mir ist die Standardnotation für ein vermeintliches Matrixprodukt bekannt $C=AB$, welches ist $c_{ik}=a_{ij}b_{jk}$, aber danach bin ich mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll - danke für jede Hilfe, die ich bekommen kann, danke.
Antworten
Verwenden Sie Zwischenvariablen, um Verwirrung zu vermeiden
Definieren $D=B^T$ und $E=AD$ so willst du das $ij$th Eintrag von $F=EC$
$$ d_{lm} = b_{ml}\\ e_{no} = a_{np} d_{po} = a_{np} b_{op}\\ f_{ij} = e_{ik} c_{kj} = a_{ip} b_{kp} c_{kj} $$
Durch Aufschlüsselung auf jede einzelne Multiplikations- / Transpositionsoperation ist es einfacher. Verwenden Sie neue Namen, um alles im Auge zu behalten und Verwirrung zu vermeiden.
Das erste ist das Austauschen der Einträge, da es sich um eine Umsetzung handelt.
Die nächste Zeile ist die Multiplikation in Indexnotation mit $n$ $o$ und $p$ statt der Dummy-Indizes von $i$ $k$ und $j$beziehungsweise. Ersetzen Sie dann die erste Zeile durch$d$Eintrag.
Die nächste Zeile ist die Multiplikation für $E$ und $C$ und ersetzen Sie dann die zweite Zeile für $e$Eintrag.
PS für später ist es nützlich, Indizes als hochgestellte und tiefgestellte Indizes zu haben. Es verfolgt für Sie Zeilen und Spalten und verallgemeinert diese besser.