Nachweis einer Limit-Eigenschaft

Question

Ich möchte folgende Eigenschaft beweisen:

Lassen $(a_n),(b_n)$ Sequenzen in sein $\mathbb{R}$, $a_n\to a $ und $b_n\to b$

$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $, annehmen $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $

Irgendwann erwähnt mein Skript das $-(a_n-a)<\epsilon $ und $b_n - b<\epsilon$

Könnte mir jemand die Intuition hinter dem obigen Schritt erklären.

Danke im Voraus.

Answer 1

Sie wollen das beweisen, vorausgesetzt, die erste Sequenz konvergiert zu $a$ und der zweite zu $b$, es hält $a\le b$.

Angenommen, nicht so $a>b$. Deshalb$\varepsilon=(a-b)/2>0$ und wir können finden $n_1\ge n_0$ so dass, für $n\ge n_1$, $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ Dies bedeutet $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ Das erste Paar von Ungleichungen impliziert $-(a_n-a)<\varepsilon$. Sie können auch isolieren$b_n-b<\varepsilon$ und einen Widerspruch ableiten.

Andererseits würde ich (*) einfacher umschreiben als $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ und beobachte das $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$, so wird das $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ und die zentralen Ungleichungen liefern den Widerspruch.