Nullteiler oder Einheit [Duplikat]

Question

Lassen $R$sei ein endlicher Ring mit Einheit. Beweisen Sie, dass jeder$x \neq 0$ ist ein Nullteiler oder eine Einheit.

Ich machte einen Versuch, blieb aber stecken. Ich habe eine Nicht-Null genommen$x$ und definierte die Zuordnung $f: R \to R, y \mapsto xy$. Diese Zuordnung ist möglicherweise nicht injektiv, aber wenn ja, da sie von zugeordnet ist$R$ zu $R$ und ist endlich, $f$ ist auch surjektiv und seitdem $1$ ist ein Element von $R$gibt es $y$ so dass $xy = 1$. Der Ring ist jedoch nicht unbedingt kommutativ, daher muss ich auch einen finden$y$ so dass $yx = 1$. Mein Gedanke war, eine analoge Karte zu definieren$g: R \to R, y \mapsto yx$, die injektiv sein können oder nicht. Aber dann stoße ich auf Probleme, bei denen die erste Karte injektiv ist, die zweite jedoch nicht.

Jede Hilfe wäre dankbar.

BEARBEITEN: Die verknüpfte Frage beantwortet dies nicht, da davon ausgegangen wird, dass der Ring kommutativ ist. Dieser Ring ist nicht kommutativ.

Answer 1

Was Sie gezeigt haben, ist:

Wenn $x \neq 0$ ist kein linker (bzw. rechter) Nullteiler, dann existiert es $y$ so dass $xy = 1$ (bzw. $yx = 1$).

Wenn $x$ ist ein linker Nullteiler, aber kein rechter Nullteiler, dann haben wir $xz = 0$ für einige $z \neq 0$ und $yx = 1$ für einige $y$.

Wir bekommen dann $$0 = y\cdot 0 = yxz = 1 \cdot z = z,$$ was widerspricht $z \neq 0$.

Daher kann diese Situation nicht eintreten. Jeder linke Nullteiler ist automatisch ein rechter Nullteiler und umgekehrt, daher können wir eindeutig "Nullteiler" sagen.

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Also wann $x$ ist kein Nullteiler, wir werden haben $xy = 1$ und $zx = 1$ für einige $y, z$. Dies gibt dann$$y = 1 \cdot y = zxy = z \cdot 1 = z,$$ und das sehen wir $y = z$ ist die multiplikative Umkehrung von $x$daher $x$ ist eine Einheit.