Optionspreis vs. implizite Volatilität

Question

Ich habe eine Übung durchgeführt, um die Beziehung zwischen dem Optionspreis von European Call und seiner Volatilität zu untersuchen. Ich wurde gebeten zu rechnen$\frac{\partial^2C}{\partial \sigma^2}$ und finden Sie die Domain von $\sigma$ auf dem der Optionspreis $C$ ist konvex.

Ich habe die Ableitung zweiter Ordnung wie gezeigt erhalten: $$ \frac{\partial^2C}{\partial \sigma^2} = Vega \cdot \frac{d_1d_2}{\sigma}, $$ wo $d_1, d_2$sind die Parameter in der Black-Scholes-Formel. Um die erforderliche Domäne zu finden, lasse ich die Ableitung zweiter Ordnung nicht negativ sein, und ich argumentiere das$Vega$ ist immer nicht negativ, also brauche ich $d_1$ und $d_2$ mit dem gleichen Zeichen.

Ich bin mir nicht sicher, ob mein Ansatz richtig ist oder nicht, da ich einen ziemlich seltsamen Bereich für habe $\sigma$:: $$ \sigma \le \sqrt{\frac{2(\log S_t/K + r(T-t))}{T-t}}, $$ oder $$ \sigma \le \sqrt{\frac{2(-\log S_t/K - r(T-t))}{T-t}}. $$

Answer 1

Ich finde es interessant, dieses Problem auch grafisch zu betrachten. Ich erhalte eine andere Antwort, je nachdem, ob es sich um ITM, ATM oder OTM handelt. In der folgenden Darstellung haben alle Optionen eine Laufzeit von einem Jahr, die Raten sind auf 0,01 und der Spot auf 100 festgelegt. Der ITM-Anruf hat Streik 80, der ATM-Anruf hat Streik 100 und der OTM-Anruf hat Streik 150. Ich habe eine lineare Funktion hinzugefügt ( y = 40 * vol) zum Vergleich in gelber Farbe. Das bekomme ich:

Der Vollständigkeit halber können wir zeigen, dass die ATM-Optionen für alle Werte von IV konkav sind, wie in der obigen Tabelle erwähnt:

Für Calls & Puts: $ Vega(t)=S_t N'(d1)\sqrt{\tau} $

Für Geldautomatenoptionen: $d1=0.5\sigma \sqrt{\tau}$

NTS: $\frac{\partial}{\partial \sigma} Vega(t) < 0 \forall \sigma$::

$$ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( S_t N'(d1)\sqrt{\tau} \right) = S_t \sqrt{\tau} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right) =\\= S_t \sqrt{\tau} \frac{\partial}{\partial d1} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right) \frac{\partial d1}{\partial \sigma}=\\= S_t \sqrt{\tau} (-d1)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right)0.5\sqrt{\tau}=\\=-0.25S_t\sigma\tau^{\frac{3}{2}} N'(0.5\sigma \sqrt{\tau}) $$

Wegen der $-0.25$ Koeffizient oben ist die Funktion negativ $\forall$ positiv $\sigma$Dies beweist das erforderliche Ergebnis für Calls & Puts.

Answer 2

Um die Antwort von @Jan Stuller zu ergänzen, sind die ATM-Optionen im BS-Modell nahezu linear (und im normalisierten Bachelier-Modell genau linear). Optionen außerhalb des Streiks weisen eine positiv konvexe Volatilität auf (beachten Sie, dass OTM gegenüber ITM keinen Unterschied machen, nur die Entfernung vom Streik). Die Ausnahme ist, dass in BS bei sehr hohen logarithmischen Normalvolumina eine gewisse negative Konvexität besteht, da die Call-Preise nach oben durch den Aktienkurs begrenzt sind. In normalen Modellen sind OTM-Optionen eine streng positive Konvexität in implizierten Volumina.