Produkthomomorphismus

Question

Lassen $(G,+)$ und $(H,\star)$ Gruppen sein (mit jeweils notierten Beziehungen $+$ und $\star$). Lassen$f$ und $g$ Gruppenhomomorphismen sein $f,g:G \to H$.

Behauptung: Wenn $H$ ist abelisch, dann die Produktkarte $f \cdot g,\,x \mapsto f(x) \star g(x)$ ist auch ein Homomorphismus.

Ich konnte dies beweisen, aber jetzt frage ich mich, ob es ein konkretes, aber einfaches Gegenbeispiel für wann gibt $H$ ist nicht abelisch ... (zB mit ganzen Zahlen unter Addition oder ähnlich ...)

Answer 1

Nun, Sie könnten die linken Multiplikationen berücksichtigen $\ell_\pi:S_n\rightarrow S_n:\sigma\mapsto\pi\sigma$ mit gegeben $\pi\in S_n$, wo $S_n$ ist die symmetrische Gruppe an $n$ setzt.

Die Menge der linken Multiplikationen $L(S_n)$ bildet eine Gruppe unter Funktionszusammensetzung, da $\ell_\pi\ell_\sigma=\ell_{\pi\sigma}$, $(\ell_\pi)^{-1} = \ell_{\pi^{-1}}$ und $\ell_e= id$ ist die Identitätszuordnung, wo $e$ ist die Identitätspermutation.

Betrachten Sie die Zuordnung $F:S_n \rightarrow L(S_n):\pi\mapsto \ell_\pi$, was ein Homomorphismus ist, da $F(\pi\sigma) =\ell_{\pi\sigma} = \ell_\pi\ell_\sigma = F(\pi)F(\sigma)$.