Real Analysis objektive Frage.

Question

Ich weiß nicht genau, wie ich es lösen soll, aber mein Versuch ist wie folgt

$$f’(x)=\sin^4(2g(x))$$Die Funktion ist also differenzierbar, da die Zusammensetzung zweier differenzierbarer Funktionen differenzierbar ist. Jetzt hat es unendlich viele Nullen, weil sin (x) unendlich viele Nullen hat. Bitte vorschlagen. Dankeschön .

Answer 1

Sie müssen die verwenden $\mathscr{chain \ rule}$ und der $\mathrm{FTC}$ Hier.

Wenn $f(x) = \int_0^{g(x)} \sin^4(2t)dt$, dann $f(x) = h(g(x))$ wo $h(u) = \int_0^u \sin^4(2t)dt$.

So, $f'(x) = h'(g(x))g'(x)$. Aber$h'(u) = \sin^4(2u)$ von FTC, also: $$ f'(x) = \sin^4(2g(x))g'(x) $$

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Schon seit $g$ist differenzierbar, es ist stetig und da es stetig ist, hat es die Zwischenwerteigenschaft. Schon seit$g$ ist unbegrenzt, es ist leicht zu sehen, dass für groß genug $N$die Mengen $\{n\pi : n \in \mathbb N , n > N\}$ wird im Bereich von liegen $g$. Zum$n > N$, Lassen $x_n$ sei so, dass $g(x_n) = n\pi$. Von oben,$f'(x_n) = 0$. So$f'$ in der Tat hat unendlich viele Nullen.