Salz in einem Behälter - ODE-Problem

Question

Wir arbeiten mit einem Wasserbehälter, der bis zu 1000 Liter fasst. Der Wasserbehälter enthält zunächst 500 Liter Wasser, in denen 20 kg Salz gelöst wurden. Der Behälter bewegt sich, so dass die Salzkonzentration überall gleich ist.

Sauberes Wasser fließt mit einer Geschwindigkeit von 4 l / min in den Behälter. Gleichzeitig fließt Salzwasser mit einer Geschwindigkeit von 2 l / min aus dem Behälter. Dies verursacht Probleme, da der Behälter nur 1000 l hat. Nach einer Weile ertönt ein Alarm aufgrund eines gefüllten Behälters.

(a) Wann ertönt der Alarm?

Die Differentialgleichung, die dieses Problem beschreibt, ist gegeben durch

$$y'=-\frac{2}{500+2t}\cdot y$$

Es wird angegeben, dass der Salzgehalt 10 kg beträgt, wenn der Alarm ertönt, d. H. $y(250)=10$. Sobald der Alarm ertönt, ändert sich der Zufluss, sodass jetzt Salzwasser mit 35 g Salz pro fließt. Liter mit einer Geschwindigkeit von 1 l / min. Pro fließen noch 2L aus. Minute.

(b) Wie viel Salz befindet sich im Behälter, wenn sich wieder 500 l im Behälter befinden?

---

Meine Antwort: Nun (a) war ganz einfach, ich habe festgestellt, dass der Alarm nach 250 Minuten ertönt $500+2\cdot 250=1000$und dann klingelt der Alarm. Aber der letzte Teil, dh (b), ist für mich nicht einfach. Ich glaube, dass ich aus den Informationen, die ich gerade erhalten habe, eine ODE machen muss, aber hier habe ich es viele Male versucht. Beachten Sie, dass dieses Problem aus einem Buch stammt, in dem es mehr Fragen gab. Ich habe nur den relevanten Teil ausgewählt. (b) wird im Buch auch als "freiwillig" angegeben. Beachten Sie, dass dies kein Hausaufgabenproblem ist.

Answer 1

Für Teil (b)

du hast $1000$ Liter Wasser zu Beginn mit dem hat $10$ kg Salz.

Das Wasservolumen verringert sich mit einer Geschwindigkeit von 1 Liter / min (1 Liter fließt ein und 2 Liter fließen jede Minute aus). Es wird dauern$500$ Minute zu reduzieren von $1000$ Liter zu $500$ Liter.

So bleibt nach einiger Zeit das Wasservolumen im Tank $t$ min $= 1000 - t$

Salz fließt mit einer Geschwindigkeit von $0.035$ kg / min.

Sagen wir, es gibt $y$ kg Salz zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ im $1000-t$ Liter Wasser.

Dann zur Zeit $t$Salz fließt mit einer Geschwindigkeit von $\frac{y}{1000-t} \times 2$ (wie $2$ Liter pro Minute fließt heraus)

Also Änderungsrate des Salzes $\frac{dy}{dt} = 0.035 - \frac{2y}{1000-t}$

Sagen wir $x = 1000 - t$ dann mit Substitution,

$- \frac{dy}{dx} = 0.035 - \frac{2y}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x} - 0.035$ ...(ich)

Um diese lineare Gleichung zu lösen, müssen wir den Integrationsfaktor verwenden. Ich habe WolframAlpha verwendet, um zu überprüfen.

$\mu = e^{\int{-2/x \, dx}} = \frac{1}{x^2}$

Multiplizieren Sie beide Seiten mit $\mu$ in (i),

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x^3} = - \frac{0.035}{x^2} $

$\frac{1}{x^2} \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2})y = - \frac{0.035}{x^2} $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$\int d(\frac{y}{x^2}) = - \int \frac{0.035}{x^2}dx $

$y = 0.035x + cx^2$

Zurück ersetzen $x = 1000 - t$

$y = 35 - 0.035t + c(1000-t)^2$

Beim $t = 0$, es gibt $10$ kg Salz.

$10 = 35 + c \times 1000^2$

Also konstant $c = -\frac{25}{1000^2}$

Beim $t = 500$,

Gesamtsalz $y = 35 - 0.035 \times 500 - \frac{25}{1000^2} \times 500^2 = 11.25$ kg.