Satz der spektralen Zerlegung

Question

Ich überprüfe den Satz der spektralen Zerlegung. Wenn$Y$ ist also eine symmetrische Matrix $Y$ kann zerlegt werden als $Y=Q\Lambda Q'$, wo die Spalten von $Q$ sind die Eigenvektoren von $Y$ und $\Lambda$ ist eine Diagonalmatrix, deren Diagonale sich aus den Eigenwerten von zusammensetzt $Y$.

Aus einem Teil dieses Satzes kann geschlossen werden, dass $Q$ist eine orthogonale Matrix? Ich weiß, dass die Eigenvektoren von$Y$ sind orthogonal, so kann geschlossen werden, dass die Matrix $Q$ ist orthogonal?

Answer 1

Sie müssen die Eigenvektoren mit einer Norm gleich eins nehmen, das werden Sie finden $QQ^{\top}=\large𝟙$.

Answer 2

In deinem Ausdruck, $Y=Q\Lambda Q'$ und Reihen von $Q$ sind die Eigenvektoren von $Y$.

In diesem, $Y=Q'\Lambda Q$ und Spalten von $Q$ sind die Eigenvektoren von $Y$.

Wir wissen, dass in einer symmetrischen Matrix Eigenvektoren, die unterschiedlichen Eigenwerten entsprechen, immer orthogonal sind. Wenn$\bf x$ und $\bf y$ sind Eigenvektoren, die unterschiedlichen Eigenwerten entsprechen $\lambda$ und $\alpha$ jeweils dann $$\langle Y{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},Y{\bf y}\rangle\implies\langle\lambda{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},\alpha{\bf y}\rangle\implies(\lambda-\alpha)\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0\implies\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0$$ schon seit $\lambda-\alpha\neq 0$.

Finden Sie nun eine orthonormale Basis für jeden Eigenraum, aus der die Menge aller Eigenvektoren von besteht $Y$ eine orthonormale gesetzt in $\mathbb{R}^n$ (da verschiedene Eigenräume orthogonal zueinander sind).