Simulation des Heston-Modells, beste Referenz?
Ich experimentiere derzeit mit verschiedenen Implementierungen zur Simulation des Standard-Heston-Modells. \ begin {eqnarray *} dS_t & = & \ mu S_t \, dt + \ sqrt {v_t} \ cdot S_t \, dW_t ^ S \\ dv_t & = & \ kappa (\ theta - v_t) \, dt + \ xi \ cdot \ sqrt {v_t} \, dW_t ^ v, \ end {eqnarray *} wobei die Korrelation zwischen den Brownschen Bewegungen besteht$\rho$.
Ich habe jedoch Schwierigkeiten, einen anständigen Referenzartikel mit einer Implementierung zu finden, die für alle Auswahlmöglichkeiten von Parameterwerten genau ist.
Ich habe zum Beispiel die im Artikel "Ein einfacher und exakter Simulationsansatz für das Heston-Modell" von J. Zhu beschriebene Methode implementiert. Dies hat den Vorteil, dass es sehr einfach zu implementieren und zu verstehen ist. Es liefert auch gute Ergebnisse, selbst für höhere Werte des Korrelationsparameters. Es ist auch sehr schnell.
Wenn jedoch das "vol-vol", $\xi$ist groß und der Feller Zustand $2 \kappa \theta > \xi^2$Wird mit großem Abstand verletzt, schlägt die Methode fehl. Die Optionspreise scheinen im Allgemeinen zu hoch zu werden. Der Grund dafür ist nicht allzu schwer zu verstehen. Die Methode von Zhu basiert auf einem Momentanpassungsverfahren für den Volatilitätsprozess. Wann$\xi$Ist die Gleichung, die Sie lösen müssen, zu groß, damit die Momente übereinstimmen, fehlt die Lösung. Die Autoren "lösten" dies, indem sie einen negativen Wert auf Null setzten. Wenn die Werte nur geringfügig negativ sind, sollte der Effekt nicht zu schlecht sein, aber für größere negative Werte sollte der Fehler signifikant sein, was genau für größere Werte gilt$\xi$.
Wie ist der aktuelle Stand der Technik in Bezug auf die Simulation der Heston-Methode? Gibt es gute Hinweise, auf die man hinweisen kann? Das Wichtigste für mich ist, dass die Methode zumindest anständig genaue Ergebnisse liefert. Danach ist natürlich eine schnellere Methode vorzuziehen. Die Einfachheit der Implementierung steht an dritter Stelle.
Antworten
Dieser Link enthält verschiedene Diskretisierungsschemata für Heston: https://www.degruyter.com/view/journals/math/15/1/article-p679.xml
Zum Beispiel ist Milstein ein beliebter.
Eine Alternative zum Euler-Diskretisierungsschema für das Heston-Modell ist die Diskretisierungsmethode zweiter Ordnung. Das System der SDE unter der risikoneutralen Maßnahme \ begin {eqnarray *} dS_t & = & r S_t \, dt + \ sqrt {v_t} S_t \, dW_t ^ S \\ dv_t & = & \ kappa (\ theta - v_t ) \, dt + \ sqrt {v_t} (\ xi_1 \, dW_t ^ S + \ xi_2 \, dW_t ^ v), \ end {eqnarray *} wird wie folgt diskretisiert: \ begin {eqnarray *} dS_ {i + 1} & = & S_i \ left (1 + rh + \ sqrt {v_i} \ Delta W ^ S \ right) + \ frac {1} {2} r ^ 2S_ih ^ 2 \\ & + & \ left (\ left [r + \ frac {\ xi_1- \ kappa} {4} \ right] S_i \ sqrt {v_i} + \ left [\ frac {\ kappa \ theta} {4} - \ frac {\ xi ^ 2} {16} \ right] \ frac {S_i} {\ sqrt {v_i}} \ rechts) \ Delta W ^ Sh \\ & + & \ frac {1} {2} S_i \ links (v_i + \ frac {\ xi_1} {2} \ rechts) ((\ Delta W ^ S) ^ 2-h) + \ frac {1} {4} \ xi_2S_i (\ Delta W ^ v \ Delta W ^ S + \ varepsilon) \\ v_ {i + 1} & = & \ kappa \ theta h + (1- \ kappa h) v_i + \ sqrt {v_i} (\ xi_1 \ Delta W ^ S + \ xi_2 \ Delta W ^ v) - \ frac {1} {2} \ kappa ^ 2 (\ theta -v_i) h ^ 2 \\ & + & \ left (\ left [\ frac {\ kappa \ theta} {4} - \ frac {\ xi ^ 2} {16} \ right] \ frac {1} {\ sqrt {v_i}} - \ frac {3 \ kappa} {2} \ sqrt {v_i} \ right) (\ xi_1 \ Delta W ^ S + \ xi_2 \ Delta W ^ v) h \\ & + & \ frac {1 } {2} \ xi_1 ^ 2 ((\ Delta W ^ S) ^ 2-h) + \ frac {1} {4} \ xi_2 ^ 2 ((\ Delta W ^ v) ^ 2-h) + \ frac {1} {2} \ xi_1 \ xi_2 \ Delta W ^ S \ Delta W ^ v \ end {eqnarray *} wobei$\xi^2 = \xi_1^2+\xi_2^2$ und $$\varepsilon = \begin{cases} h, & \mbox{with prob. } \frac{1}{2} \\ -h, & \mbox{with prob. } \frac{1}{2} \end{cases}$$ $\varepsilon$ und $\Delta W^S$unabhängig sein. Man kann in Betracht ziehen, den absoluten Wert von zu nehmen$v_i$.
Dieses Schema kann zum Beispiel durch Fixieren verwendet werden $h=\frac{T}{n}$ mit verschiedenen Stichprobengrößen $n$ und 1e + 06 Wiederholung für jede $n$. Es ist bekannt, dass dieses Verfahren eine geringere Schätzungsverzerrung erzeugt, jedoch eine etwas schlechtere Konvergenz aufweist