Subbundle und Definition von Differentialformen

Question

Ich lese John Lees Einführung in Smooth Manifolds und bin in der Definition des Bundles stecken geblieben $\Lambda^kT^*M$.

Lassen $M$ sei ein $n$ dimensionale glatte Mannigfaltigkeit, $\Lambda^k(T^*_pM)$ sei der $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ dimensionaler Unterraum des Tensorprodukts $T^k(T^*_pM)$, dann definiert man $\Lambda^kT^*M:=\bigsqcup_{p\in M}\Lambda^k(T^*_pM)$. Aufgrund von John Lees Lemma 10.32 muss ich finden$\frac{n!}{k!(n-k)!}$ lokale Abschnitte $\sigma_i:U\to T^kT^*M$ des Tensorbündels $T^kT^*M$ auf einer offenen Nachbarschaft $U\subset M$ von $p$, so dass $\{\sigma_i(q)\}\subset\Lambda^k(T^*_qM)$ ist eine Basis des Vektorraums für jeden $q\in U$. Dann$\Lambda^kT^*M$ ist ein Subbundle von $T^kT^*M$ durch das Lemma.

Hier ist meine Frage: Wie finde ich diese lokalen Abschnitte? Kann ich nur behaupten, dass es sich um diejenigen handelt, die einen Punkt der Mannigfaltigkeit einem alternierenden Tensor zuordnen?

Answer 1

Es ist notwendig zu argumentieren, dass solche Abschnitte tatsächlich existieren, beispielsweise indem man sie konstruiert.

Wählen $U$ in einem einzelnen Koordinatendiagramm enthalten, die Standardauswahl des lokalen Rahmens mit Indizes $1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n$ ist das antisymmetrisierte Produkt der Koordinate $1$-Formen. $$ dx^{i_1}\wedge\dots\wedge dx^{i_k}:=\sum_{\pi\in S_k}\operatorname{sgn}(\pi)dx^{i_{\pi(1)}}\otimes\dots\otimes dx^{i_{\pi(k)}} $$ Wo $S_k$ ist die Menge der Permutationen von $\{1,\cdots,k\}$ und $\operatorname{sgn}$bezeichnet das Vorzeichen einer Permutation. Man kann überprüfen, ob diese glatt sind$T^kT^*M$ und span $\Lambda^kT^*M$.