Verallgemeinerte Vandermonde-Matrix

Question

Lassen $z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace 0 \right\rbrace$ verschiedene komplexe Zahlen sein, $\lambda_1 < \lambda_2 < \ldots < \lambda_n$ positive ganze Zahlen und definieren $$A = \left( z_i^{\lambda_k}\right)_{i,j = 1,\ldots, n} = \begin{pmatrix} z_1^{\lambda_1} & z_1^{\lambda_2} & \cdots & z_1^{\lambda_n} \\ z_2^{\lambda_1} & z_2^{\lambda_2} & \cdots & z_2^{\lambda_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ z_n^{\lambda_1} & z_n^{\lambda_2} & \cdots & z_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}.$$ Ist es wahr dass $A$ ist invertierbar?

Ich habe diese verwandte Frage gefunden, aber sie befasst sich mit endlichen Feldern, wobei in meinem Fall das zugrunde liegende Feld die komplexe Ebene ist.

Wenn $\lambda_k = k -1 $ zum $k = 1, \ldots, n$, dann $A$ist die bekannte Vandermonde-Matrix, daher ist die Antwort in diesem Fall positiv. Ich habe versucht, die Determinante von zu berechnen$A$ analog dazu wie es gemacht wird wenn $A$ ist die Vandermonde-Matrix aber ohne Erfolg.

Hat jemand eine Referenz oder einen Beweis, der diese Frage beantwortet?

Danke im Voraus...

Answer 1

Es ist nicht unbedingt invertierbar. Erwägen$z_1 = 1, z_2 = -1$mit $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$. Dann ist die resultierende Matrix$2 \times 2$ Matrix von Einsen, die eindeutig nicht invertierbar ist.

Um zu sehen, warum dies im Allgemeinen nicht unbedingt invertierbar ist, stellen Sie sich die Vandermonde-Matrix als Polynominterpolation vor. Die normale Vandermonde-Matrix gibt zum Beispiel die$(n - 1)$Polynom des Grades durchlaufen $n$verschiedene Punkte. Was Sie hier fragen, ist, ein Polynom zu finden, dessen Koeffizienten alle Null sind, mit Ausnahme der Koeffizienten zu den Begriffen$x^{\lambda_1}, x^{\lambda_2}, \cdots, x^{\lambda_n}$. Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren, müssen wir nur beachten, dass ein solches Polynom hat$\lambda_n - \lambda_1$ Wurzeln ungleich Null und wenn $n$ von diesen $\lambda_n - \lambda_1$ Wurzeln sind verschieden, konnten wir finden $n$ eindeutige Werte zu geben $z_1, \cdots, z_n$ und muss die Matrix singulär sein (warum?).