Verbindungsformulare
Ich finde den folgenden Absatz im Buch der Verteiler und Differentialgeometrie von Jeffrey M.Lee (Abschnitt 12.2 Verbindungsformulare Seite 506):
Lassen $\pi : E \longrightarrow M $ sei ein Rang-r-Vektor-Bündel mit einer Verbindung $\nabla$. Denken Sie daran, dass Sie ein lokales Rahmenfeld über einem offenen Satz auswählen können$U \subset M $ ist gleichbedeutend mit einer Trivialisierung der Beschränkung $\pi_U : {E|}_U \longrightarrow U . $ Nämlich wenn $ \phi = (\pi, \Phi)$ ist eine solche Trivialisierung über U, dann zu definieren $e_i(x)= \phi ^{-1}(x,e_i)$, wo $(e_i)$ ist die Standardbasis von $\mathbb{F}^n$Wir haben ein Rahmenfeld $(e_1,...,e_k).$Wir untersuchen nun den Ausdruck für eine gegebene kovariante Ableitung unter dem Gesichtspunkt eines solchen lokalen Feldes. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass es für jedes solche Rahmenfeld eine Matrix von 1-Formen geben muss$\omega = {(\omega_j^i)}_{1≤i,j≤r}$ so dass für $X \in \Gamma(U,E)$ wir dürfen schreiben $$\nabla_Xe_j =\sum\limits_{i=1}^k {\omega_j^i}(X)e_i$$
Meine Frage ist, wie kann man die Existenz einer solchen Matrix von 1-Formen beweisen?
Antworten
Wir wissen das $\nabla_Xe_i$ ist ein glatter Abschnitt von $E$und lokal über einen Rahmen arbeiten $(U,e_1,\ldots, e_k)$ wie du bist haben wir $$ \nabla_Xe_i=\sum_{j=1}^n \omega^j_i(X)e_j$$ wo $\omega^j_i:\mathfrak{X}(U)\to C^\infty(U).$ Es ist leicht zu sehen, mit $\nabla_{aX+bY}=a\nabla_X+b\nabla_Y$ Das $\omega^j_i$ ist linear, aber mehr ist wahr. $\omega^j_i$ ist tensoriell, weil $\nabla_{fX}=f\nabla_X$ so dass $\omega^j_i(fX)=f\omega^j_i(X)$. Daher,$\omega^j_i$ ist eine glatte $(0,1)-$Tensorfeld vorbei $U$. Das heißt, die$(\omega_j^i)$ bilden a $k\times k$ Array von glatten $1-$Formen vorbei $U$.
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Sie möchten die Matrix ausdrücken $(\omega_j^i)_{i,j}$lokal definiert als ein Abschnitt eines Bündels von Endomorphismen. Es ist möglich, Differentialformen mit Vektorbündelwerten zu definieren. Eigentlich ist das nicht so schwer. In einer lokalen Trivialisierung von$E$ gegeben durch $(U,e_1,\ldots, e_r)$ ein $E-$geschätzte Differenz $k-$Form ist ein Ausdruck der Form $\eta=\eta^1\otimes e_1+\cdots +\eta^r\otimes e_r$ für jede $\eta^i$ ein $k-$bilden. Das heißt, wir haben eine$k-$Form vor jedem Rahmenelement, so dass gegeben $X_1,\ldots, X_k$ Vektorfelder auf derselben offenen Nachbarschaft, $$ \eta(X_1,\ldots, X_k)=\sum_{i=1}^r \eta^i(X_1,\ldots,X_k)e_i$$ definiert einen Abschnitt von $E$ Über $U$. Mit all dem, was gesagt wird, wenn$E$ ist lokal trivial mit $e_1,\ldots, e_r$ also ein lokaler Rahmen $\operatorname{End}(E)$ ist auch trivialisiert, wobei der Rahmen durch die Standardmatrizen gegeben ist $E_{i,j}$ (alle Nullen außer a $1$ in dem $(i,j)$Position). Das ist,$E_{i,j}$ repräsentiert das Transformationssenden $e_j\mapsto e_i$ und alles andere $e_k\mapsto0$. Dann ein$\operatorname{End}(E)-$geschätzt $k-$Form ist genau eine Summe der Form $$ \sum_{i,j}\underbrace{\eta^{i,j}}_{\in \Omega^k(U)}E_{i,j}= \begin{bmatrix} \eta^{1,1}&\cdots& \eta^{1,r}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \eta^{r,1}&\cdots& \eta^{r,r} \end{bmatrix}.$$ In dem Fall wo $k=1$Dies nennt man ein $\operatorname{End}(E)-$geschätzt $1-$bilden. Beachten Sie, dass dies ein Sonderfall der allgemeinen Konstruktion für Vektorbündel ist, da$\operatorname{End}(E)$ist ein Vektorbündel. Darauf bezieht sich der Autor$\mathcal{A}^1(-,\operatorname{End}(E))$.