Wann hat eine triangulierte Kategorie ein Herz?

Question

Annehmen $\mathcal{T}$ist eine triangulierte Kategorie. Was sind die Bedingungen$\mathcal{T}$muss befriedigen, um eine t- Struktur zu haben ? Wenn eine t- Struktur existiert, welche weiteren Bedingungen würden dies sicherstellen$\mathcal{T}$ ist die abgeleitete Kategorie seines Herzens?

Meine Frage ist motiviert durch die ständige Suche nach einer abelschen Kategorie gemischter Motive, für die mehrere Konstruktionen triangulierter Kategorien existieren. Ist es in diesem Zusammenhang so?

(1) Die oben genannten Bedingungen werden von einer oder allen der vorhandenen triangulierten Kategorien erfüllt, so dass die Existenz der abelschen Kategorie sichergestellt ist und das verbleibende Problem die Konstruktion einer t- Struktur ist, oder

(2) Es ist nicht bekannt, dass die Bedingungen von einer der vorhandenen triangulierten Kategorien erfüllt werden, so dass selbst die Existenz einer t- Struktur unbekannt ist, oder

(3) solche Bedingungen sind nicht bekannt, dh die Antwort auf meine Fragen im ersten Absatz lautet "Weiß nicht!", Zumindest in dieser Allgemeinheit.

Ich glaube aus meiner Lektüre, dass Option (1) nicht wahr ist, aber ich habe sie nur aufgenommen, um sicherzugehen. Vielen Dank!

Answer 1

Eine dumme Bemerkung ist, dass "trivial" $t$-Strukturen existieren immer. Sie sollten wahrscheinlich sagen, dass Sie eine begrenzte oder eine nicht entartete wollen$t$-Struktur. Soweit ich mich erinnere, ungleich Null negativ$K$-Gruppen von $T$sollte ein Hindernis für den früheren Zustand geben, wenn Sie glauben, dass das Herz noetherisch ist oder so etwas. Beachten Sie auch, dass diese Gruppen für$DM_{gm}$sind isomorph zu denen von Chow-Motiven; siehe Sosnilo, Vladimir, Satz des Herzens in der negativen K-Theorie für Gewichtsstrukturen. Doc. Mathematik. 24 (2019), 2137–2158.

Zum Vergleich $DM_{gm}$ mit $D^b(MM)$: versuche (die Einführung zu?) Positselski, Leonid, gemischte Artin-Tate-Motive mit endlichen Koeffizienten zu lesen. Mosc. Mathematik. J. 11 (2011), No. 2, 317–402.