Warum $\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$?

Question

Mein Problem:

Annehmen $\mathcal{E}$ und $\mathcal{H}$ sind sub-$\sigma$-Algebren der $\sigma$-Algebra $\mathcal{F}$. Lassen$X \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ und $\sigma(X)=\{X^{-1}(A): A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \}$. Nehme an, dass$\mathcal{E}$ ist unabhängig von $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$.

Dann $$\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\mathcal{E})]=\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]$$

Mein Versuch:

Ich habe versucht, die Charakterisierung zu verwenden $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \mathcal{H}]Z]$ für alle $\mathcal{H}$-Messbare und begrenzte Zufallsvariable oder $\mathbb{E}[XZ]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[X\mid \sigma(\mathcal{H},\sigma(X))]Z]$ für alle $\sigma(\mathcal{H},\sigma(X))$-Messbare und begrenzte Zufallsvariable.

Answer 1

Dies ist ein bekanntes Ergebnis von Doob.

Satz: Lass$\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ und $\mathscr{C}$ sei sub--$\sigma$- Algebren von $\mathscr{F}$. $\mathscr{A}\perp_\mathscr{C} \mathscr{B}$ iff $$ \begin{align} \Pr[A|\sigma(\mathscr{C},\mathscr{B})]=\Pr[A|\mathscr{C}]\tag{1}\label{doob-independence} \end{align} $$ für alle $A\in \mathscr{A}$.

Hier ist ein Schussbeweis:

Nehme an, dass $\mathscr{A}$ und $\mathscr{B}$ sind bedingt unabhängig gegeben $\mathscr{C}$, das ist $$ \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr[A|\mathscr{C}] \Pr[B|\mathscr{C}] $$ für alle $A\in \mathscr{A}$ und $B\in \mathscr{B}$. Dann für jeden$A\in\mathscr{A}$, $\mathscr{B}$ und $C\in\mathscr{C}$ wir haben $$ \begin{align} \Pr\big[A\cap\big(C\cap B)\big]&=\Pr\big[ \mathbb{1}_C\Pr[A\cap B|\mathscr{C}]\big]= \Pr\big[\mathbb{1}_C\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}]\big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B\cap C|\mathscr{C}]\big]= \Pr\Big[\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big|\mathscr{C}\big]\Big]\\ &= \Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_{B\cap C}\big] \end{align} $$ Schon seit $\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})=\sigma\Big(\{B\cap C: B\in\mathscr{B}, C\in\mathscr{C}\}\Big)$zeigt ein monotones Klassenargument das $$ \begin{align} \Pr[A\cap H]=\Pr\big[\Pr[A|\mathscr{C}]\mathbb{1}_H \big] \end{align} $$ für alle $H\in\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})$. Dies bedeutet, dass$$ \Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]=\Pr[A|\mathscr{C}] $$

Nehmen wir umgekehrt an $\eqref{doob-independence}$hält. Für jeden$A\in\mathscr{A}$ und $B\in\mathscr{B}$ wir haben \begin{align*} \Pr[A\cap B|\mathscr{C}]=\Pr\Big[\mathbb{1}_{B}\Pr[A|\sigma(\mathscr{B},\mathscr{C})]\Big| \mathscr{C}\Big]= \Pr\Big[\mathbb{1}_B\Pr[A|\mathscr{C}]\Big|\mathscr{C}\Big] =\Pr[A|\mathscr{C}]\Pr[B|\mathscr{C}] \end{align*} Dies zeigt, dass $\mathscr{A}$ und $\mathscr{B}$ sind unabhängig gegeben $\mathscr{C}$.

Die Erweiterung auf Zufallsvariablen erfolgt durch Erweiterung zunächst auf einfache Funktionen und dann durch die übliche monotone Approximation durch einfache Funktionen.