Wenn $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ und $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ für einige $\alpha \in \Phi$.
Dies ist eine Übung 10.10 in Humphreys Buch über Lie-Algebren.
Lassen $\Phi$ sei ein Wurzelsystem, das im euklidischen Raum liegt $E$ und lass $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ eine Basis sein für $\Phi$. Lassen$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ mit allen $k_i\geq 0$ oder alle $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ Beweisen Sie das auch $\lambda$ ist ein Vielfaches (möglicherweise 0) einer Wurzel, oder es existiert $\sigma \in \mathscr W$ (Weyl-Gruppe) so, dass $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ mit etwas $k_i'>0$ und einige $k_i'<0$.
Er gibt folgenden Tipp: Wenn $\lambda$ ist kein Vielfaches einer Wurzel, dann die Hyperebene $P_\lambda$ orthogonal zu $\lambda$ ist nicht enthalten in $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$. Nehmen$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ und dann finden $\sigma \in \mathscr W$ für die alle $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$.
Ich konnte nicht beweisen , dass$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$Obwohl ich es geschafft habe, die Übung wie folgt zu beenden. Nehmen Sie eine solche$\mu$, da jeder Punkt in $E$ ist $\mathscr W$-Konjugat bis zu einem Punkt in der grundlegenden Weyl-Kammer gibt es $\sigma \in \mathscr W$ befriedigend $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$wie behauptet. Insbesondere jeweils$\sigma \alpha_i \in \Phi$, so können wir schreiben $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ für einige (möglicherweise neue) Ganzzahlen $k_i'$. Jetzt,$\mu \in P_\lambda$, damit
$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ impliziert, dass einige $k_i'>0$ und einige $k_i'<0$, wie die Begriffe $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ sind alle positiv.
Die Frage ist dann: Wie kann man das beweisen?$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$? Alle Berechnungen, die ich bisher gemacht habe, waren nutzlos$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$kann nichts implizieren. Ich habe auch versucht, einfach damit zu beginnen $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ von supposig $\lambda - c\alpha\neq 0$ und $P_\lambda \subseteq P_\alpha$, aber das schreit nur $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$.
Irgendeine Hilfe? Danke.
Antworten
Lemma : Wenn$H, H_1, ... H_r$ sind Hyperebenen (dh $(n-1)$-dimensionale Unterräume) in einigen $n$-dimensionaler Raum über einem unendlichen Feld, und $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$, dann $H = H_j$ für einige $1 \le j \le r$.
Beweis : Unter der Annahme haben wir
$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$
Jetzt hat der Schnittpunkt zweier beliebiger Hyperebenen eine Dimension $n-2$es sei denn, die beiden Hyperebenen sind gleich. Aber wenn alle Räume in der Union auf der RHS sind$(n-2)$- dimensional, ihre Vereinigung kann nicht die sein$(n-1)$-dimensionaler Raum auf der LHS. QED.
So wenden Sie dies auf Ihr Problem an: Wenn $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$, dann gibt es durch das Lemma eine Wurzel $\alpha$ so dass $P_\lambda = P_\alpha$, Folglich $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$dh $\lambda$ ist ein skalares Vielfaches von $\alpha$.