wie man beweist, dass das Segment$IF=HF+GF$

Question

$AE$und$CD$sind die Winkelhalbierenden von$\triangle ABC$.$F$ist ein beliebiger Punkt auf der Linie$DE$. Beweise das$GF+HF=IF$.

mir ist aufgefallen$3$zyklische Vierecke. Irgendwelche Ideen. Hier ist das Bild

Answer 1

Betrachten Sie trilineare Koordinaten (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) zuerst in dem Fall, wo$F$ist im Dreieck$ABC$.

$D$und$E$, die Fuß von Winkelhalbierenden sind, haben resp. trilineare Koordinate.$(1,1,0)$und$(0,1,1)$. Daher die trilineare Geradengleichung$DE$ist:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

Dolmetschen$(x=FG,y=FH,z=FI)$, wir bekommen:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( was nicht die gegebene Beziehung ist ! )

Nun, wenn$F$ist nicht im Dreieck$ABC$, hier sind die anderen Fälle:

• In dem in der angegebenen Abbildung dargestellten Fall ($F$"nur draußen"$[DE]$auf der Seite von$E$), nur eine der trilinearen Koordinaten,$FG$, erfährt einen Vorzeichenwechsel ; daher wird (1) zu:

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

was diesmal auf die gegebene Beziehung hinausläuft !

Wenn bei der angegebenen Zahl$F$weit entfernt ist, erfolgt ein zweiter Vorzeichenwechsel, jetzt für vorzeichenbehaftete Entfernung$FH$, Transformation (2) in :

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

das ist eine dritte Formel.

• wenn im Gegenteil$F$liegt außerhalb des Liniensegments$[D,E]$aber auf der seite von$D$, wir müssen uns ändern$FI$in sein Gegenteil in (1) und gibt Beziehung (3) zurück.

Bemerkung zur Beziehung (0): Wir haben sie erhalten, indem wir auf eine multiplikative Konstante hochgearbeitet haben; das ist unwichtig, weil wir es mit Beziehungen zu tun haben, die auf ihrer rechten Seite eine Null haben.