Wiederkehrende Sequenz mit Exponent

Question

Wenn ich mit wiederkehrenden Sequenzen arbeite und Funktionen generiere, bin ich im Allgemeinen verloren, einen allgemeinen Ausdruck von zu lösen $a_n$ für jeden $n$ wenn der nächste Teil der Sequenz, das heißt $a_{n+1}$ist in Form eines Exponenten, so dass $a_n = a_{n-1} +k^{n-1}$, wobei k eine Konstante ist. Ich habe keine Ahnung, wie ich dieses Problem angehen soll.

Ich habe die Fibonacci-Sequenz gelöst, indem ich die beiden durchlässigen Terme subtrahiert und die Sequenz verschoben habe, aber hier scheint es nicht zu funktionieren.

Ich arbeite besonders mit $a_n = 2a_{n-1} + 5^{n-1}$, aber die Sequenz erweitert sich extrem schnell. Der Basisfall,$a_{0} = 1$.

Jede Hilfe wäre dankbar!

Answer 1

Wir verwenden gewöhnliche Erzeugungsfunktionen. Lassen$A(x) = \sum_{i=0}^n a_n x^n$. Dann haben wir (Summierung von$n=1$)

\ begin {align} a_n & = 2a_ {n-1} + 5 ^ {n-1}, \\ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nx ^ n & = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 2a_ {n-1} x ^ n + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ n, \\ A (x) - a_0 & = 2x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_ {n-1} x ^ {n-1} + x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ {n-1}, \\ A (x) - 1 & = 2x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_ {n} x ^ {n} + x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty 5 ^ {n} x ^ {n}, \\ A (x ) - 1 & = 2xA (x) + \ frac {x} {1-5x}, \\ A (x) - 2xA (x) & = \ frac {x} {1-5x} + 1, \\ A. (x) & = \ frac {x} {(1-2x) (1-5x)} + \ frac {1} {1-2x}. \\ \ end {align} Jetzt verwenden wir eine partielle Bruchzerlegung und ein Bit von Algebra zu erhalten

\ begin {align} A (x) & = \ frac {1} {3 (1-5x)} - \ frac {1} {3 (1-2x)} + \ frac {1} {1-2x} \ \ & = \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {(1-5x)} + \ frac {2} {(1-2x)} \ right) \\ & = \ frac {1 } {3} \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 5 ^ nx ^ n + 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ nx ^ n \ right). \ end {align}

Von hier aus sehen wir $$a_n = \frac{5^n + 2^{n+1}}{3}.$$

Answer 2

Da derjenige, mit dem Sie jetzt arbeiten, erster Ordnung ist, können Sie ihn einfach "abwickeln":

$$\begin{align*} a_n&=2a_{n-1}+5^{n-1}\\ &=2\left(2a_{n-2}+5^{n-2}\right)+5^{n-1}\\ &=2^2a_{n-2}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^2\left(2a_{n-3}+5^{n-3}\right)+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^3a_{n-3}+2^2\cdot5^{n-3}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^ka_{n-k}+\sum_{i=0}^{k-1}2^i5^{n-1-i}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^na_0+\sum_{i=0}^{n-1}2^i5^{n-1-i}\\ &=2^na_0+5^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac25\right)^i\\ &=2^na_0+5^{n-1}\cdot\frac{1-\left(\frac25\right)^n}{1-\frac25}\\ &=2^na_0+\frac{5^n-2^n}3 \end{align*}$$

Answer 3

Ich liebe es zu teleskopieren.

Wenn $a_n = ua_{n-1} + vc^{n} $, dann $\dfrac{a_n}{u^n} = \dfrac{a_{n-1}}{u^{n-1}} + v(c/u)^{n} $.

Lassen $b_n = \dfrac{a_n}{u^n}$. Dann $b_n =b_{n-1}+vd^n $ wo $d = c/u$.

Dann $b_n-b_{n-1} =vd^n $.

Summieren,

$\begin{array}\\ b_m-b_0 &=\sum_{n=1}^m (b_n-b_{n-1})\\ &=\sum_{n=1}^m vd^n\\ &=v\dfrac{d-d^{m+1}}{1-d}\\ &=vd\dfrac{1-d^{m}}{1-d}\\ \end{array} $

damit

$\begin{array}\\ \dfrac{a_m}{u^m} &=a_0+vd\dfrac{1-d^m}{1-d}\\ \text{or}\\ a_m &=a_0u^m+\dfrac{vc}{u}u^m\dfrac{1-(c/u)^m}{1-c/u}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ \end{array} $

In diesem Fall, $u=2, c=5, v = \frac15, a_0 = 1 $ damit $a_m = 2^m + \dfrac{2^m-5^m}{2-5} = 2^m + \dfrac{5^m-2^m}{3} $.

Dies kann umgeschrieben werden als

$\begin{array}\\ a_m &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=\dfrac{(u-c)a_0u^m+vc(u^m-c^m)}{u-c}\\ &=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c}\\ \end{array} $

Wieder bekommen wir $=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c} =\dfrac{(-3+1)2^m-5^{m}}{-3} =\dfrac{2\cdot 2^m+5^{m}}{3} $.

Answer 4

Machen Sie es zuerst homogen.

$$a_n-2a_{n-1} = 5^{n-1} $$ $$a_{n+1}-2a_n = 5^n $$ $$\Rightarrow a_{n+1}-2a_n=5(a_n-2a_{n-1}) \tag 1$$ $$\Rightarrow a_{n+1}-5a_n=2(a_n-5a_{n-1}) \tag 2$$

Sowohl (1) als auch (2) sind also geometrische Sequenzen

$$ a_{n+1}-2a_n = 5^n (a_1-2a_0) = 5^n (3-2)= 5^n \tag 3 $$ $$ a_{n+1}-5a_n = 2^n (a_1-5a_0) = 2^n (3-5)= -2^{n+1} \tag 4 $$ (3) - (4) $$ a_n = \frac{1}{3} (5^n + 2^{n+1}). \blacksquare $$

(Bitte siehe meinen Beitrag https://math.stackexchange.com/questions/3897344/show-that-for-every-positive-integer-f-n-frac-left-frac1-sqrt52-rig/3899525#3899525)