Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Question

Angenommen, ich habe eine Gleichung

$$a(f(x))^2+bf(x)+c=0.$$ Ich muss die Wurzeln der Gleichung finden.

Wenn ich diese Gleichung löse, erhalte ich einen Wert von $x$, sagen $p$ und dieser Wert von $x$ wird mir einen Wert von geben $f(x)$, sagen $q$ (dh $f(p)=q$). Mein Zweifel ist also, ob$p$ wird als Wurzel der Gleichung bezeichnet oder ist es $q$ das ist die Wurzel der Gleichung?

Ich weiß, dass mein Zweifel sehr dumm ist, aber bitte vergib mir. Ich bin nicht so gut in Mathe. Vielen Dank, dass Sie sich um mich gekümmert und mir geholfen haben.

Answer 1

Definieren wir ein Polynom $p(x) = ax^2+bx+c$. Sie müssen lösen$$ \tag{1} p(f(x)) = 0. $$

Um dies zu tun, finden Sie, wie Sie richtig bemerken, zuerst die Wurzeln von $p(x)$, sagen $p_+$ und $p_-$, so dass $p(p_+) = 0 = p(p_-)$und dann lösen $f(x) = p_+$ und $f(x) = p_-$, einige Lösungen zu erhalten, sagen wir $x^*$. Diese endgültigen Lösungen$x^*$ werden Lösungen von (1) und Wurzeln von sein $p(f(x))$.

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AKTUALISIEREN

Ich bin mir nicht sicher, wie eine Funktion eine Wurzel für sich selbst sein kann. Wenn du meinst$p_-$ oder $p_+$in der Tat sind sie die Wurzeln von $p$, so $p(p_+) = p(p_-) = 0$, aber sie sind nicht unbedingt die Wurzeln von$p(f(x))$.

Zum Beispiel lassen $p(x) = x^2-16x+64 = (x-8)^2$ und $f(x) = x^3$. Beachten Sie, dass:

• $p(x)$ hat Wurzeln von $p_- = 8$ und $p_+ = 16$
• $f(x)$ selbst hat nur die Wurzel bei $0$
• $p(f(x))$ hat eine Wurzel bei $f(x) = 8 \iff x = 2$ und $f(x) = 16 \iff x = 2\sqrt[3]{2}$

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UPDATE 2

Nehmen wir einen anderen speziellen Fall und betrachten ihn $p(x) = (x-1)^2$ und $f(x) = \tan x$. Dann zu lösen$$\tag{2} (\tan x - 1)^2 = 0$$ Sie:

• finde alle Wurzeln von $p(x) = (x-1)^2$, welche sind $x = 1$
• lösen $f(x) = 1$, mit anderen Worten, $\tan x = 1$, so $x_n = \pi/4 +n\pi$ für jede ganze Zahl $n$.

Wurzeln von (2) sind also die Zahlen $(x_n)_{n=-\infty}^\infty$.

Answer 2

Die gleichung $a(f(x))^2+ b(f(x))+ c= 0$ist nur dann "quadratisch", wenn f (x) selbst eine lineare Funktion ist. Wenn du eine Lösung für bist$au^2+ bu+ c= 0$ (es kann zwei Werte von u geben) dann ist jede Lösung für f (x) = u eine Lösung für $a(f(x))^2+ b(f(x))+ c= 0$. Wie viele das sind, hängt von der Funktion ab, f.

Answer 3

Wenn Sie die Gleichung lösen, erhalten Sie zuerst einen Wert für f (x). Das wäre die Wurzel:$r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Dann würden Sie lösen$f(x)=r$ für x.

Answer 4

Sie werden keinen Wert von erhalten $x$wenn Sie die Gleichung lösen; Sie erhalten einen Wert von$f(x)$nach der quadratischen Formel:

$$f(x)=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$