Zählproblem mit einer Arbeit der Größe N.

Question

Stellen Sie sich vor, ein Programmierer erstellt ein eindeutiges Passwort, das aus n Buchstaben besteht. Unter den Buchstaben müssen zwei a und drei r enthalten. Der Rest des Passworts kann aus den verbleibenden englischen Buchstaben gebildet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Buchstaben in diesem Passwort anzuordnen, um eine eindeutige Zeichenfolge zu erstellen, ohne zwei 'a' hintereinander zu haben?

Bisher habe ich bekommen: $$\text{Having 5 positions already subtracted from our n, the remaining positions are: $n-5$} \\ \text{We have taken two letters from our alphabet so we have 24 more letters to choose from.} \\ \text{Choosing spots for a's and r's is: $\ binom {n} {5}$ because we have the $5$ positions that are taken.} \\ \text{Ways to arrange these two letters(a and r) are $\ binom {5} {3}$ because we have a total of $5$ letters and they take the $3$ positions?} \\ \text{We are left with 24 available letters and there is $24 ^ {n-5}$ ways to put other letters in.} \\ \text{So far I have: $\ binom {n} {5} \ cdot \ binom {5} {3} \ cdot24 ^ {n-5}$}$$

Meine Frage ist, woher bekomme ich die A's nicht in einer Reihe? Ich weiß auch nicht ob$\binom{5}{3}$ ist richtig, der, den ich mit einem Fragezeichen verlassen habe.

Answer 1

Ist richtig. Beachten Sie dies zunächst$\binom{5}{3}=\binom{5}{2}$weil es die gleiche Auswahl ist, wo die a sind, um auszuwählen, wo die r sind.

Beachten Sie außerdem, dass$\binom{n}{5}\binom{5}{2}=\binom{n}{2}\binom{n-2}{5-2}=\binom{n}{2}\binom{n-2}{3}$Das heißt, wählen Sie zuerst die a's, dann die r's.

Um die beiden a in einer Reihe zu vermeiden, wählen Sie zuerst die Positionen der a aus, ohne etwas anderes zu platzieren, und beachten Sie, dass Sie sie zusammenführen können, wenn sie zusammen sind. Also von$\binom{n}{2}$Nehmen Sie das zusammengeführte Paar heraus. Es gibt$n-1$ Möglichkeiten, so $\binom{n}{2}- (n-1).$ Ihre Formel wird $$\left (\binom{n}{2}-(n-1)\right )\cdot \binom{n-2}{3}\cdot 24^{n-5}.$$