Zeige, dass ${{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$

Question

Frage: Angenommen$x $ist eine nicht negative ganze Zahl. Definieren${{m}\choose {x}}=0$ wenn $x>m $. Lassen$\{p_n\}$ Sequenz befriedigend sein $0 <p_n <1$ und $\lim\limits_{n\to\infty} np_n=\lambda$. Zeige, dass$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Entspricht dies dem Beweis der Poisson-Verteilungsformel? Ich frage dies, weil in der Aussage der Poisson-Verteilungsformel$np$ ist konstant aber hier wann $n\to\infty $ $np\to $eine Konstante$=\lambda $. Auch in der Poisson-Verteilungsformel$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$ aber wir müssen für jeden beweisen $n $Es gibt keine Grenzen. Ist also der Beweis für das Problem und der Beweis für die Poisson-Verteilungsformel gleich?

Hinweis: Die Formel enthält keine Begrenzung für das Problem. Wir müssen beweisen$${{n}\choose {x}}p _n^x (1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$ nicht $$\lim\limits_{n\to\infty} {{n}\choose{x}}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!}$$

Answer 1

$\boxed{\text{Hint}}$

$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}\frac{(np_n)^x}{n^x}\frac{(1-np_n/n)^n}{(1-p_n)^x}$$

Schon seit $\lim_{n\rightarrow\infty}np_n=\lambda$, wir bekommen $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(1-np_n/n)^n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\lambda/n)^n=e^{-\lambda}}$$

$$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}(np_n)^x=\lambda^x}$$ und versuchen Sie das zu zeigen $$\boxed{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-x)!n^x}=1\\\lim_{n\rightarrow\infty}(1-p_n)^x=1}$$

Answer 2

Die Grenze, die Sie geschrieben haben, ist die formale Aussage des Poisson-Grenzwertsatzes .

Die Version, die Sie zuvor gesehen haben, hat eine etwas weniger allgemeine Annahme (sie erzwingt $np_n = \lambda$ für alle $n$, eher, als $np_n \to \lambda$). Die Beweise werden sehr ähnlich sein, aber Sie müssen wahrscheinlich etwas extra für die allgemeinere Behauptung tun.

In beiden Aussagen gibt es eine Grenze als $n \to \infty$;; Ich bin mir nicht sicher, was du mit "wir müssen für jeden beweisen$n$ Es gibt keine Grenzen. "

Answer 3

Für fest $x$,$$\frac{\binom{n}{x}}{n^x/x!}=\prod_{i=0}^{x-1}(1-i/n)=\exp\sum_{i=0}^{x-1}\underbrace{\ln(1-i/n)}_{\sim-i/n}\approx\exp\frac{-x(x-1)}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1.$$Wie $n\to\infty$, $1-p_n\to1$ damit$$\binom{n}{x}p_n^x(1-p_n)^{n-x}\sim\frac{\left(\frac{np_n}{1-p_n}\right)^x(1-p_n)^n}{x!}\sim\frac{\lambda^x e^{-np_n}}{x!}\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}.$$