Zur Definition eines logischen Systems
Auf S. 261 in §1. Logische Systeme in XIII. Lindstroms Theoreme in Ebbinghaus ' Mathematischer Logik ,
1.1 Definition. Ein logisches System$\mathcal{L}$ besteht aus einer Funktion $L$ und eine binäre Beziehung $\models_\mathcal{L}$. $L$ assoziiert mit jedem Symbolsatz $S$ ein Satz $L(S)$, die Menge von $S$Sätze von $\mathcal{L}$. (...)
$L(S)$ heißt "die Menge von $S$-Sätze ". Bedeutet das das? $L(S)$ besteht nur aus $S$-Formeln ohne freie Variablen? Wenn ja, warum können die Sprachen der Logiksysteme erster und zweiter Ordnung haben?$S$-Formeln mit freien Variablen.
Haben alle logischen Systeme die gleichen Strukturen, dh $\cup_S \{S\text{-structure}\}$?
Ist es genauer zu sagen, dass ein logisches System $\mathcal{L}$ besteht aus $L$, $\cup_S \{S\text{-structure}\}$, und $\models_\mathcal{L}$, obwohl $\cup_S \{S\text{-structure}\}$ ist für alle logischen Systeme gleich?
Ist es möglich für zwei logische Systeme $\mathcal{L_1}$ und $\mathcal{L_2}$ mit $L_1 = L_2 $ aber $\models_\mathcal{L_1} \neq \models_\mathcal{L_2}$?
Vielen Dank.
Antworten
Re: $(1)$Die Idee ist, dass wir die Idee eines logischen Systems auf eine sehr einfache Ebene reduzieren: seine Fähigkeit, bestimmte Klassen von Strukturen herauszuarbeiten, nämlich jene der Form $\{\mathcal{M}: \mathcal{M}\models\varphi\}$ zum $\varphi$ein Satz im System. Während "natürliche" Logiken wie FOL oder SOL mehr Struktur haben als diese - z. B. haben sie auch Vorstellungen von Formeln mit freien Variablen - "vergessen" wir diese Struktur im obigen Ansatz; es ist zusätzlich, aber unnötig.
Es stellt sich jedoch heraus, dass wir immer noch über definierbare Teilmengen von Strukturen sprechen können, indem wir nur Sätze verwenden (und so immer noch alles erreichen, was normalerweise mit Formeln mit freien Variablen gemacht wird)! Insbesondere können wir uns vorstellen$S$-Formeln als Satzerweiterungen von $S$ durch endlich viele neue konstante Symbole.
Dies lässt uns wie folgt über definierbare Teilmengen von Strukturen sprechen. Angenommen, FOL wird auf Konkretheit untersucht$\mathcal{M}$ ist ein $S$-Struktur und $\varphi(x)$ ist ein $S$-Formel mit freier Variable $x$. Lassen$c$ sei ein konstantes Symbol nicht in $S$ und betrachte den FOL-Satz $\hat{\varphi}$ erhalten durch Ersetzen jeder freien Instanz von $x$ im $\varphi$ durch $c$. Dann die Teilmenge von$\mathcal{M}$ definiert von $\varphi$, das ist $\varphi^\mathcal{M}$ist genau die Menge von $a\in\mathcal{M}$ so dass die Erweiterung von $\mathcal{M}$ zu $S\cup\{c\}$ durch Dolmetschen bekommen $c$ wie $a$ befriedigt $\hat{\varphi}$.
Dieser "Nur-Sätze" -Ansatz verliert also nicht wirklich die Fähigkeit, über freie Variablen zu sprechen, sondern macht ihn nur ein bisschen chaotischer. Was ist verloren ist die Struktur der Syntax: zB in einem präzisen Sinne FOL berechenbar Syntax hat, aber der Ansatz für logische Systeme oben vergisst dies. Aus diesem Grund interessieren wir uns oft für umfassendere Begriffe des "logischen Systems" (siehe z. B. hier ); Das heißt, dieser sehr bloße Begriff hat insofern Wert, als er uns nicht triviale, sehr allgemeine Ergebnisse beweisen lässt.
Re: $(2)$, Ja. Das heißt, wir können "verallgemeinerte logische Systeme" betrachten, die unterschiedliche Vorstellungen von Struktur haben (z. B. möchten wir vielleicht Strukturen mit einer Topologie betrachten - siehe z. B. hier und allgemeiner ist das ganze Buch ziemlich interessant).
Re: $(3)$Da diese zusätzlichen Informationen redundant sind, ist Ihr Ausdruck nur dann genauer, wenn wir in einem breiteren Kontext arbeiten. Das heißt, es tut nicht weh, es aufzunehmen, und gemäß den obigen Ausführungen werden wir es manchmal wollen.
Re: $(4)$, bestimmt. Ein einfaches Beispiel für ein logisches System$\mathcal{L}=(L,\models_\mathcal{L})$ Betrachten Sie das logische System $$\mathcal{L}'=(L, \{\langle \mathcal{M},\varphi\rangle: \mathcal{M}\not\models_\mathcal{L}\varphi\}).$$ Dies negiert einfach alles in $\mathcal{L}$. Natürlich sind die beiden Logiken in angemessenem Sinne gleichwertig.
Ein natürlicheres Beispiel, das tatsächlich wichtig ist, ist die Logik zweiter Ordnung mit der Standardsemantik im Vergleich zur Logik zweiter Ordnung mit der Henkin-Semantik: Sie haben dieselbe Syntax, aber ihre Zufriedenheitsbeziehungen sind extrem unterschiedlich (z. B. ist letztere kompakt, aber die Ersteres ist nicht).
Ebbinghaus / Flum / Thomas geben später auch ein pathologisches Beispiel für eine Art "verdrehtes" FOL, das die gleiche Syntax wie FOL hat und die Kompaktheit und die nach unten gerichteten Lowenheim-Skolem-Eigenschaften aufweist, aber mit FOL nicht zu vergleichen ist. Ich erinnere mich jedoch nicht an die genaue Definition.