$A$ es nilpotente, entonces $I+\lambda A$ es invertible para cualquier $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

Necesito ayuda en este problema
Let$A$ es una matriz real cuadrada tal que $A^{n}=0$ por algún entero positivo $n .$Tal matriz se llama nilpotente. Demuestra que si$A$ es nilpotente, entonces $I+\lambda A$ es invertible para cualquier $\lambda \in \mathbb{R}$

Lo sé por $\lambda = 1$ es verdad por
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ Demostrando así que $A+I$ es invertible para cualquier nilpotente $A$.

Pero no sé si esto es cierto para alguna $\lambda$.

Answer 1

Tenemos $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

Pista: como ya sabes si $A$ es nilpotente, entonces $I+A$ es una unidad, puede observar que $\lambda A$ es nilpotente y concluye.

Answer 3

También puede mostrarlo por contradicción de la siguiente manera:

por $\lambda = 0$ no hay nada que mostrar.

Entonces vamos $\lambda \neq 0$ y asumir que $I+\lambda A$ no es invertible. $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

Entonces, $\mu\neq 0$ sería un valor propio de $A$. Ya que$A$ es nilpotente, tendríamos $\mu = 0$, lo cual es una contradicción.

Answer 4

Estoy asumiendo $A$ se acabó $\mathbb{R}$ , con índice nilpotente $k$

en caso $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$y es invertible.
en caso$\lambda \not= 0$: usaremos este próximo lema

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lema: si$B$ es una verdadera matriz nilpotente, $B$no tiene valores propios reales distintos de cero.
prueba:

Asumamos $B$ es nilpotente de índice $r$.
también asumimos que tiene un valor propio real -$\xi$

por definición, significa que existe un vector distinto de cero $v$ tal que-

$Bv = \xi v$

entonces, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
en general, no es difícil demostrar por inducción que
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

con eso, obtenemos: $B ^r (v) = \xi ^r v$
pero también $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

entonces - $\xi ^r v = \underline0$.
pero$v \not= \underline0$ , entonces debemos conseguir $\xi ^r = 0$ - lo que en general significa que:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

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Ahora, aplique este lema en$A$y obtén eso $A$no tiene valores propios distintos de cero .

examinemos la matriz $I - \lambda A$ , recordando que aqui $\lambda \not= 0$.

Esta matriz es invertible, si y solo si tiene un determinante distinto de cero.
Calculemos su determinante:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

asume que esto es igual $0$ y obten:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

y entonces - $\lambda ^{-1}$ es un valor propio de $A$, que es distinto de cero. Contredicción.

por lo tanto, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ y entonces -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ y la matriz es invertible.