Acerca del functor derivado (Tor)

Question

Dejar $A$ ser un anillo conmutativo con 1, y supongamos $$0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0$$ ser una breve secuencia exacta de $A$-módulos. Dejar$D$ frijol $A$-módulo.

Entiendo que si $Tor^{A}_1(D,P)=0$, luego la secuencia exacta correspondiente $$0 \longrightarrow D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN \longrightarrow D\otimes_AP \longrightarrow 0 $$es exacta, ya que Tor es un functor derivado a la izquierda.

Pero a la inversa, si sabemos que la secuencia dada del producto tensorial es exacta, siempre podemos decir que $Tor^{A}_1(D,P)=0$?

La respuesta es sí (en Atiyah dice), pero no puedo entender por qué esto es así. Creo que puede suceder para que$Tor^{A}_1(D,P)\neq0$ pero imagen de $Tor^{A}_1(D,P) \longrightarrow D\otimes_AM$ es cero, de modo que el mapeo $D\otimes_AM \longrightarrow D\otimes_AN$ es inyectable.

Answer 1

Nosotros podríamos tener $N=P$ y $M=0$. Esto haría$$ 0 \to D\otimes_AM \to D\otimes_AN \to D\otimes_AP \to 0 $$ exacto no importa qué $P$ es.

En cambio, creo que lo que Atiyah quiso decir es que si la secuencia censurada es exacta para cualquier $M,N$ tal que $$0\to M\to N\to P\to 0$$ es exacto, entonces obtenemos $\operatorname{Tor}_1^A(D,P)=0$.