Aclaración sobre Cada espacio métrico separable tiene una base contable
Demuestre que todo espacio métrico separable (digamos X) tiene una base contable. (Sugerencia: tome todos los vecindarios con radio racional y centre en algún subconjunto denso numerable de X).
Mi pregunta es: ¿Es necesario tomar un radio racional? Quiero decir, dado que se da que X es separable, tiene un conjunto denso contable. Para crear la base usaremos dicho subconjunto denso contable y podemos considerar una bola con el centro del subconjunto, por lo que el no. de bolas seguirá siendo contable. No veo por qué necesitamos un radio racional. Por favor aclare esto.
Respuestas
Tomar solo una bola alrededor de cada punto en el subconjunto denso no daría una base. Si permitiera que el radio fuera arbitrario, habría innumerables vecindarios en general. Tomar las bolas con radio racional da una base contable. Puede usar cualquier conjunto contable de radios distintos de cero siempre que, para cada$\epsilon > 0$, incluye una bola con un radio menor que $\epsilon$. Por ejemplo, podría tomar las bolas con radio,$1/n$ para $n = 1, 2, \ldots$.