Cada anillo finito $R$ tiene un ideal nilpotente $I$ tal que el único nilpotente de $R/I$ es el ideal cero
Como el título.
Cómo demostrar que cada anillo finito $R$ tiene un ideal nilpotente $I$ tal que el único ideal nilpotente de $R/I$ es el ideal cero?
Solo sé que cada anillo finito tiene un ideal nilpotente, pero cómo construir un ideal $I$ satisfaciendo la condición adicional?
Supongo que el $I$ debe ser lo suficientemente grande, pero ¿qué es más?
Respuestas
Considere un ideal nilpotente $I$cuyo cardenal es máximo. Si$R/I$ tiene un ideal nilpotente no trivial $J$, $p^{-1}(J)$ es nilpotente, donde $p:R\rightarrow R/I$ es el mapa de cocientes.
Solo sé que cada anillo finito tiene un ideal nilpotente,
Bueno ... cada anillo tiene el ideal trivial como ideal nilpotente. Posiblemente no podría haber querido decir "ideal nilpotente distinto de cero" porque obviamente los campos finitos no tienen tal ideal y son bastante finitos.
pero, ¿cómo construir un ideal que satisfaga la condición adicional?
La finitud juega un papel muy torpe, uno que fácilmente podría ser reemplazado por una condición más débil.
Considere por un momento dos ideales cualesquiera $I\subseteq J$ de un anillo $R$. Si el ideal$J/I$ es nilpotente en $R/I$, significa $J^k\subseteq I$ para algunos $k$. Si$I$ es también un ideal nilpotente de $R$, entonces también lo es $J^k$ y también $J$.
Lo que esto dice es que para $R/I$ carecer de ideales nilpotentes distintos de cero, desea encontrar un $I$ que es máxima entre los ideales nilpotentes de $R$. . Así es como construirás / encontrarás tu respuesta.
Ahora ... cómo se obtiene ese ideal nilpotente máximo se logra fácilmente para un anillo finito: solo hay un número finito de ideales, así que simplemente escríbalos todos y elija uno nilpotente máximo.
Pero realmente todo lo que necesitabas es la existencia de un miembro máximo del grupo de ideales nilpotentes, y eso te sería dado simplemente por el anillo siendo noetheriano de derecha o izquierda.
Un último hecho que vale la pena mencionar es que para un anillo artiniano de derecha o izquierda, existe un ideal nilpotente máximo único: es el radical de Jacobson. El radical de Jacobson siempre contiene ideales nilpotentes, pero para los anillos de Artinian en particular, usted sabe que el radical en sí mismo es nilpotente, y eso lo convierte en el más grande.
Todo ese último párrafo es válido en particular para los anillos finitos, por lo que ahora sabe exactamente qué ideal buscar.