Cálculo de Schubert

Question

Dejar $X = Gr(2,4)$ el complejo Grassmannian de $2$-aviones en $V = \Bbb C^4$ y $S$ el paquete tautológico, $Q$el paquete del cociente. El anillo de cohomología es generado por$c_1(S), c_2(S)$ con relaciones $c(S)c(Q) = 1$, procedente de la breve secuencia exacta de paquetes de vectores $0 \to S \to V \to Q \to 0$.

Uno debe conseguir $c_1(S)^4 = 1$puramente de estas relaciones, pero no puedo hacerlo. ¿Alguien puede explicar cómo se hace?

Answer 1

Ante todo, $c_1(S)^4 = 2$, no 1. El cálculo en sí es bastante fácil. Déjame denotar$a_i := c_i(S)$, $b_i = c_i(Q)$. Entonces las relaciones son$$ a_1 + b_1 = a_2 + a_1b_1 + b_2 = a_1b_2 + a_2b_1 = a_2b_2 = 0. $$ El primero da $b_1 = -a_1$, el segundo da $b_2 = a_1^2 - a_2$, y los dos últimos dan $$ a_1^3 = 2a_1a_2, \qquad a_1^2a_2 = a_2^2. $$ Una combinación de las dos últimas igualdades da $ a_1a_2^2 = a_1(a_1^2a_2) = (a_1^3)a_2 = 2a_1a_2^2, $ por lo tanto $a_1a_2^2 = 0$. Esto significa que el anillo de cohomología se extiende sobre$\mathbb{Z}$ por $1$, $a_1$, $a_2$, $a_1a_2$, $a_2^2$, y eso $$ a_1^4 = 2a_2^2 $$ que se traduce en la igualdad requerida $c_1(S)^4 = 2$.