Campo de funciones algebraicas

Question

Asumimos $K$como un campo de característica cero. Por un campo de funciones algebraicas de una variable sobre$K$ nos referimos a un campo $R$ satisfactorio $R=K(x,y)$ con $x$ ser trascendental sobre $K$y $R$ es algebraico sobre $K(x)$.

Mi pregunta es: si existe un subcampo $F \subset R$ y $a \in R$ tal que $R=F(a)$ con $a$ ser trascendental sobre $F$. (En el caso de campos de funciones racionales, este resultado se sigue fácilmente).

Answer 1

Creo que la respuesta es no, no en general. Construyo un supuesto ejemplo a continuación: lo examinaría detenidamente antes de creerlo.

Asumir que $K$ está algebraicamente cerrado.

Desde $R = F(a)$, con $a$ trascendental sobre $F$, tenemos eso $\text{trdeg}_F(R) = 1$.

También tenemos, por supuesto, que $\text{trdeg}_K(R) = 1$. Por el hecho de que el grado de trascendencia es aditivo en las torres ( Lema 9.26.5 en el proyecto de pilas ), tenemos que$\text{trdeg}_K(R) = \text{trdeg}_K(F) + \text{trdeg}_F(R)$, a partir del cual $\text{trdeg}_K(F) = 0$ sigue.

Desde una extensión del grado de trascendencia $0$ es algebraico, esto implica que $F$ es una extensión algebraica de $K$. Ya que$K$ está algebraicamente cerrado, tenemos $K = F$.

Así, $R = F(a) = K(a)$.

Recordamos que si $K\subset R$ es cualquier extensión de campo, y $a \in R$ es trascendental sobre $K$, luego $K(a) \cong K(x)$, dónde $K(x)$ denota el campo de funciones racionales en variable formal $x$.

Ahora si $R$ es el campo de función de cualquier curva plana sobre $K$ eso no es biracional para $\mathbb{P}^1_k$, tenemos eso $R = K(x,y)$, con $x$ trascendental sobre $K$ y $y$ algebraico terminado $K(x)$, pero no puedo tener $R \cong K(x)$. Una curva elíptica proporciona un ejemplo, por ejemplo, consulte esta pregunta .

Por tanto, concluimos que para tales $R$, no se puede encontrar un subcampo $F$ con $R = F(a)$ y $a$ trascendental sobre $F$.