Casco Blanco Extended modelo Vasicek

Question

Estoy tratando de entender una fórmula en el documento histórico de Hull & White "Pricing Interest Rate Derivative Securities" (1990). No puedo ver cómo reorganizar (11) y aplicar condiciones de contorno da como resultado (13) en la página 6 (como se muestra a continuación).

Por favor, ¿podría darme un consejo y disculpas si es mi cálculo rudimentario el que tiene la culpa?

Answer 1

Tiene razón, la ecuación (11) se deriva mecánicamente de (7) (tomando la derivada wrt a$T$y luego combinar es con (7)), y de alguna manera piensan que (13) se puede obtener de (11) sin recordar (7). Tal vez mediante la integración inteligente (tenga en cuenta, por ejemplo, que$B_tB_T - BB_{tT}$es el numerador de la derivada en lugar de$t$de fracción$B/B_T$) y usando la condición de contorno (no pude resolverlo).

Por supuesto, lo que podemos hacer es resolver la ecuación lineal de primer orden en$t$(7)

$$ B_t = a(t)B-1. $$

Con las funciones primitivas habituales:

$$ \alpha'(t) = a(t), \; \; \beta'(t) = -{\rm e}^{-\alpha(t)}, $$

la solución general a la ecuación (7) es

$$ B(t,T) = c(T){\rm e}^{\alpha(t)} + {\rm e}^{\alpha(t)}\beta(t), $$

con$c(T)$función arbitraria de$T$.

Como$B(T,T)=0$, Debemos tener:

$$c (T)= -\beta(T).$$

Asi que:

$$ B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\beta(T) - \beta(t)\right).$$

Entonces podemos comprobar fácilmente que esta solución respeta (13):

$$ B(0,T) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(T) - \beta(0)\right) $$

$$ B(0,t) = -{\rm e}^{\alpha(0)} \left(\beta(t) - \beta(0)\right) $$

$$\partial B(0,t)/\partial t = -{\rm e}^{\alpha(0)}\beta'(t) = {\rm e}^{\alpha(0)} {\rm e}^{-\alpha(t)}$$

Editar : tenga en cuenta que (11) se puede escribir como:

$$ (B_T)_t =\frac{1-B_t}{B}B_T $$que es equivalente a$$ (\ln B_T)_t = \frac{1-B_t}{B}. $$

En este punto necesitamos recordar de (7) que el lado derecho es una función de$t$solamente,$a(t)$, de lo contrario, se vuelve engorroso avanzar desde aquí. La solucion es$$ B_T = {\rm e}^{\alpha (t) + \gamma (T)} $$por$ \gamma (T)$una función arbitraria de$T$. Integrando wrt to$T$, obtenemos:

$$ B(t,T) = {\rm e}^{\alpha (t)} (\Gamma (T) + \eta (t)) $$por$ \eta (t)$una función arbitraria de$t$y$\Gamma^\prime = {\rm e}^{\gamma}$.

Condición de contorno$B(T,T)=0$entonces fuerzas:

$$\Gamma(T) = -\eta(T). $$

Asi que,

$$B(t,T) = -{\rm e}^{\alpha(t)} \left(\eta(T) - \eta(t)\right).$$

Una vez más, notando que

$$ B_t = -{\rm e}^{\alpha(t)}a(t)\eta(T) + {\rm e}^{\alpha(t)}a(t) \eta(t) + {\rm e}^{\alpha(t)} \eta^\prime (t),$$

(7) entonces implica:

$$\eta(t) = \beta(t). $$