Coeficientes / sumas binomiales [duplicado]

Question

Necesito ayuda para resolver esta tarea, así que si alguien tuviera un problema similar, me ayudaría.

$\sum\limits_{k=m}^{n}{n \choose k}{k \choose m}={n \choose m}2^{n-m}$

Probé esto:

$\sum\limits_{k=m}^{n}\frac{n!k!}{k!(n-k)!m!(k-m)!}={n \choose m}2^{n-m}\\\sum\limits_{k=m}^{n}\frac{n!}{(n-k)!m!(k-m)!}={n \choose m}2^{n-m}\\\frac{n!}{m!}\sum\limits_{k=m}^{n}\frac{1}{(n-k)!(k-m)!}={n \choose m}2^{n-m}$

Cambio $z=k-m\rightarrow k=z+m$

$\frac{n!}{m!}\sum\limits_{z=0}^{n-m}\frac{1}{(n-(z+m))!(z+m-m)!}={n \choose m}2^{n-m}\\\frac{n!}{m!}\sum\limits_{z=0}^{n-m}\frac{1}{(n-z-m)!z!}={n \choose m}2^{n-m}$

Y ahora, con esta parte, no sé qué hacer a continuación. Intenté algo de esta manera.

$\frac{1}{(n-m)!}+\frac{1}{(n-1-m)!}+...+\frac{1}{n-m}!={n \choose m}2^{n-m}$

Pero ahora no sé cómo calcular la expresión del lado izquierdo.

Gracias por adelantado !

Answer 1

¡Casi ahí! $$\frac {n!}{m!} \sum_{z=0}^{n-m} \frac 1{(n-z-m)!z!}=\frac {n!} {(n-m)!m!} \sum_{z=0}^{n-m} \frac {(n-m)!}{(n-m-z)!z!} = \binom n m \sum_{z=0}^{n-m}\binom {n-m}z = \binom n m 2^{n-m}$$